Seja a matriz cujas colunas são os vetores acima, na ordem em que foram descritos.
Dimensão do espaço gerado por e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a dimensão do espaço gerado pelos vetores e . Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e independência linear. Para resolver, vamos ver se esses dois vetores são linearmente independentes. Se forem, a dimensão será 2; se não, será 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem linearmente independentes. Independente linearmente significa que nenhum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro. Se conseguirmos encontrar um número tal que , então eles são dependentes. Se não, são independentes.
Passo 3
Vamos então comparar os componentes dos vetores e :
Queremos ver se existe um tal que:
Passo 4
Vamos igualar componente por componente:
Da segunda equação, k = 5 . Vamos verificar se isso satisfaz a terceira equação:
5 = 5 cdot 1 ✔️ ✔️
E a primeira equação também é válida porque 0 = 0 .
Passo 5
Como encontramos um valor de k que satisfaz todas as equações, isso significa que V4 é um múltiplo de V2 . Portanto, os vetores são linearmente dependentes.