Considere os vetores:
V1=(1,1,0), V2=(0,1,1), V3=(4,-1,-5), V4=(0,5,5)
Seja A a matriz cujas colunas são os vetores acima, na ordem em que foram descritos.
Dimensão do espaço gerado por V2 e V4.
square

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a dimensão do espaço gerado pelos vetores V2 e V4 . Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e independência linear. Para resolver, vamos ver se esses dois vetores são linearmente independentes. Se forem, a dimensão será 2; se não, será 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem linearmente independentes. Independente linearmente significa que nenhum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro. Se conseguirmos encontrar um número k tal que V4 = k cdot V2 , então eles são dependentes. Se não, são independentes.

Passo 3

Vamos então comparar os componentes dos vetores V2 e V4 :
V2 = (0, 1, 1) e V4 = (0, 5, 5)
Queremos ver se existe um k tal que:
(0, 5, 5) = k cdot (0, 1, 1)

Passo 4

Vamos igualar componente por componente:
0 = k cdot 0 5 = k cdot 1 5 = k cdot 1
Da segunda equação, k = 5 . Vamos verificar se isso satisfaz a terceira equação:
5 = 5 cdot 1 ✔️
E a primeira equação também é válida porque 0 = 0 .

Passo 5

Como encontramos um valor de k que satisfaz todas as equações, isso significa que V4 é um múltiplo de V2 . Portanto, os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

A dimensão do espaço gerado por V2 e V4 é 1.

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