Use o método de Gauss-Jordan para encontrar a forma escalonada reduzida das seguintes matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear usando o método de Gauss-Jordan. O que a gente precisa fazer aqui é transformar a matriz dada em uma forma escalonada reduzida. Para isso, vamos precisar usar operações elementares nas linhas da matriz, como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número e somar múltiplos de uma linha a outra. Nosso objetivo é chegar em uma matriz onde cada pivô (o primeiro número diferente de zero em cada linha) seja 1 e esteja o único número não zero na sua coluna.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz A que a gente tem:
A = 1 & 2 & 3 0 & 2 & 3 1 & 2 & 4
O primeiro passo no Gauss-Jordan é garantir que o primeiro elemento (aí na posição (1,1)) seja 1. Aqui, já está 1, então tudo certo!
Passo 3
Agora, queremos zerar os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna. Olha que na terceira linha, na primeira coluna, tem outro 1. Para zerar isso, a gente pode subtrair a primeira linha da terceira linha:
Agora, a gente olha para a segunda coluna. O pivô aqui é o 2 na posição (2,2). Queremos que esse pivô seja 1, então vamos dividir toda a segunda linha por 2:
Linha 2 = Linha 2 / 2:
1 & 2 & 3 0 & 1 & 32 0 & 0 & 1
Passo 5
Com os pivôs ajustados, vamos agora zerar os elementos acima e abaixo de cada pivô. Já na terceira coluna, temos um 1 na posição (3,3). Vamos zerar os elementos acima dele:
Para zerar o 3 na posição (1,3), fazemos:
Linha 1 = Linha 1 - 3 * Linha 3:
1 & 2 & 0 0 & 1 & 32 0 & 0 & 1
Para zerar o 32 na posição (2,3), fazemos:
Linha 2 = Linha 2 - 32 * Linha 3:
1 & 2 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Passo 6
Finalmente, vamos zerar o 2 na posição (1,2). Para isso, fazemos: