Considere os vetores e , com um valor real.
A partir da 2)b) considere que estamos usando uma base ortonormal positiva. Para quais valores reais de o conjunto é uma base?
Passo 1
O enunciado dá os vetores , e em e pede para quais valores de o conjunto forma uma base.
Conteúdo: vetores em são base se, e somente se, forem linearmente independentes, o que equivale a ter determinante da matriz que os envolve diferente de zero.
Passo 2
Vamos montar a matriz cujas colunas são , e :
A condição de base é det A neq 0.
Passo 3
Calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
det A = -1cdotdet1 & 2 m & -1 ;-;0cdot(cdots) ;+;3cdotdet0 & 12 & m
Agora,
det1 & 2 m & -1 = 1cdot(-1) - 2cdot m = -1 - 2m,
det0 & 12 & m = 0cdot m - 1cdot 2 = -2
Portanto,
det A = -1cdot(-1 - 2m) + 3cdot(-2) = 1 + 2m - 6 = 2m - 5
Para que seja base, queremos 2m - 5 neq 0, ou seja m neq tfrac52.
Resposta
O conjunto u,v,w é base para todos os minR tais que