Considere os vetores u=(-1,0,2), v=(0,1, m) e w=(3,2,-1), com m um valor real.
A partir da 2)b) considere que estamos usando uma base ortonormal positiva.
(1,0) Para quais valores reais de m o conjunto u, v, w é uma base?

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(-1,0,2), v=(0,1,m) e w=(3,2,-1) em R^3 e pede para quais valores de m o conjunto u,v,w forma uma base.
Conteúdo: vetores em R^3 são base se, e somente se, forem linearmente independentes, o que equivale a ter determinante da matriz que os envolve diferente de zero.

Passo 2

Vamos montar a matriz cujas colunas são u, v e w:
A = -1 & 0 & 3 0 & 1 & 2 2 & m & -1
A condição de base é det A neq 0.

Passo 3

Calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
det A = -1cdotdet1 & 2 m & -1 ;-;0cdot(cdots) ;+;3cdotdet0 & 12 & m
Agora,
det1 & 2 m & -1 = 1cdot(-1) - 2cdot m = -1 - 2m,
det0 & 12 & m = 0cdot m - 1cdot 2 = -2
Portanto,
det A = -1cdot(-1 - 2m) + 3cdot(-2) = 1 + 2m - 6 = 2m - 5
Para que seja base, queremos 2m - 5 neq 0, ou seja m neq tfrac52.

Resposta

O conjunto u,v,w é base para todos os minR tais que
m neq tfrac52

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