Considere os vetores \vec{a}=2 \hat{\imath}-\hat{\jmath} e \vec{b}=\hat{\imath}-\hat{\jmath}. Determine o módulo, direção e sentido dos vetores:
\vec{a}

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{a}=2\hat{\imath}-\hat{\jmath} e pede três coisas sobre ele:
  • o módulo (comprimento) de \vec{a};
  • a direção de \vec{a} (ângulo que o vetor faz em relação ao eixo positivo x);
  • o sentido de \vec{a} (para que lado a seta aponta, isto é, em que quadrante e rumo).
Informações relevantes fornecidas:
  • Componente x de \vec{a} é 2 (peguei do enunciado).
  • Componente y de \vec{a} é -1 (peguei do enunciado).

Passo 2

Módulo (norma) de um vetor no plano: se \vec{v}=v_x\hat{\imath}+v_y\hat{\jmath}, então o módulo é dado por
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}.
Explicando: isso vem do Teorema de Pitágoras — o vetor é a hipotenusa do triângulo com catetos v_x e v_y. Aqui v_x é a componente horizontal e v_y a vertical.
Aplicando a fórmula em \vec{a} (onde v_x=2 e v_y=-1):
\|\vec{a}\|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.
Valor decimal aproximado:
\sqrt{5}\approx 2{,}236\ldots

Passo 3

Direção como vetor unitário (explicação didática): a direção de um vetor pode ser dada por seu versor (vetor unitário) na mesma linha do vetor. Se \hat{u} é o versor de \vec{v}, então
\hat{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.
Isso transforma o vetor para ter módulo 1 mantendo a mesma direção e sentido — útil para identificar a direção pura sem escala.
Calcule o versor de \vec{a}:
\hat{u}_{a}=\frac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|}=\frac{1}{\sqrt{5}}\bigl(2\hat{\imath}-\hat{\jmath}\bigr).
Interpretação: a direção é a reta que passa pela origem e pelo ponto (2,-1); o versor aponta dessa mesma forma, mas com comprimento 1.

Passo 4

Ângulo com o eixo x (explicação da fórmula): para um vetor \vec{v}=(v_x,v_y), um cálculo comum do ângulo \theta medido a partir do eixo +x é
\theta=\arctan\!\left(\frac{v_y}{v_x}\right),
mas atenção: o valor da função \arctan dá um ângulo entre -90^\circ e 90^\circ, então é preciso verificar o quadrante usando os sinais de v_x e v_y para ajustar \theta corretamente.
No nosso caso v_x=2>0 e v_y=-1<0. Como v_x>0, a fórmula direta fornece o ângulo correto (um ângulo negativo indica que está abaixo do eixo x). Calcule:
\theta=\arctan\!\left(\frac{-1}{2}\right)= -\arctan\!\left(\frac{1}{2}\right).
Valor numérico (graus):
\arctan\!\left(\frac{1}{2}\right)\approx 26{,}565^\circ,
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\theta\approx -26{,}565^\circ.
Expressões equivalentes úteis: ângulo positivo medido no intervalo 0^\circ 360^\circ:
\theta=360^\circ-26{,}565^\circ=333{,}435^\circ.
Em radianos (aproximação):
\theta\approx -0{,}46365\\ \text{rad}\quad\text{(ou)}\quad \theta\approx 5{,}81954\\ \text{rad}.

Passo 5

Sentido do vetor (explicação e descrição): o sentido é a orientação da seta do vetor — neste caso a seta vai do ponto origem na direção do ponto com coordenadas (2,-1). Como v_x>0 e v_y<0, o vetor está no quarto quadrante (abaixo e à direita do eixo y). Em palavras simples: o vetor aponta para a direita e para baixo, partindo da origem em direção ao ponto (2,-1).

Resposta

\|\vec{a}\|=\sqrt{5}\approx 2{,}236
Direção: \theta=\arctan\!\left(\dfrac{-1}{2}\right)\approx -26{,}565^\circ (equivalente a 333{,}435^\circ); em radianos \theta\approx -0{,}46365\\ \text{rad}.
Sentido: aponta para o quarto quadrante (direção do ponto (2,-1)); versor \hat{u}_{a}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\bigl(2\hat{\imath}-\hat{\jmath}\bigr).

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