Exercício 1: Verifique se W é um subespaço vetorial de V :
W=\{(x, y, z) \mid x+y=0\} ;\quad V=\mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y=0\}
é um subespaço vetorial de V = \mathbb{R}^3.
O conteúdo aqui é a definição de subespaço: precisamos checar se
  1. o vetor zero está em W,
  2. W é fechado sob adição,
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que o vetor zero de \mathbb{R}^3 pertence a W.
O vetor zero é (0,0,0) e
0 + 0 = 0,
portanto (0,0,0)\in W. Isso garante que W não está vazio e contém o elemento neutro.

Passo 3

Verificamos o fechamento sob adição. Sejam u=(x_1,y_1,z_1)\in W e v=(x_2,y_2,z_2)\in W.
Pela definição, x_1+y_1=0 e x_2+y_2=0. Então
u+v = (x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2)
e
(x_1+x_2)+(y_1+y_2) = (x_1+y_1)+(x_2+y_2) = 0 + 0 = 0.
Logo u+v\in W, mostrando que W é fechado sob adição.

Passo 4

Verificamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja \alpha\in\mathbb{R} e u=(x,y,z)\in W, ou seja, x+y=0. Então
\alpha u = (\alpha x,\;\alpha y,\;\alpha z)
e
\alpha x + \alpha y = \alpha\,(x+y) = \alpha\cdot 0 = 0.
Portanto \alpha u\in W, mostrando o fechamento sob multiplicação escalar.

Resposta

W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

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