Exercício 1: Verifique se W é um subespaço vetorial de V :
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um subespaço vetorial de .
O conteúdo aqui é a definição de subespaço: precisamos checar se
é um subespaço vetorial de
O conteúdo aqui é a definição de subespaço: precisamos checar se
- o vetor zero está em
, -
é fechado sob adição, -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos que o vetor zero de
pertence a
.
O vetor zero é e
O vetor zero é
portanto
. Isso garante que
não está vazio e contém o elemento neutro.
Passo 3
Verificamos o fechamento sob adição. Sejam
e
.
Pela definição, e
. Então
Pela definição,
e
Logo
, mostrando que
é fechado sob adição.
Passo 4
Verificamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
e
, ou seja,
. Então
e
Portanto
, mostrando o fechamento sob multiplicação escalar.