W=\left\{\begin{pmatrix} x & x+y & x+3y\\\ x & -x & x-y \end{pmatrix}\;\Big|\;x,y\in\mathbb{R}\right\}.
O conteúdo aqui é teste de pertencimento a um subespaço dado em forma paramétrica: basta tentar escrever v na forma de W e ver se existe solução para x e y.
Passo 2
Igualamos as entradas correspondentes de v\) e da matriz genérica de \(W\):
\[\begin{cases} x = 1,\\\ x + y = 2. \end{cases}
Da primeira equação vem (x=1]. Substituindo na segunda, 1 + y = 2 \quad\Longrightarrow\quad y = 1.
Passo 3
Usamos x=1 e y=1 para conferir as outras entradas:
\text{(1,3): }x+3y = 1 + 3\cdot1 = 4\quad(\text{bate com }v_{1,3}=4),
\text{(2,1): }x = 1\quad(\text{bate com }v_{2,1}=1),
\text{(2,2): }-x = -1\quad(\text{bate com }v_{2,2}=-1),