Exercício 2: Verifique se o vetor v pertence ao subespaço vetorial W :
v=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 4 \\\\ 1 & -1 & 3\end{array}\right) e W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ccc}x & x+y & x+3 y \\\ x & -x & x-y\end{array}\right) \right\rvert\, x, y \in \mathbb{R}\right\}; \quad V=M_{2 \times 3}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
v=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\\\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}
pertence ao subespaço
W=\left\{\begin{pmatrix} x & x+y & x+3y\\\ x & -x & x-y \end{pmatrix}\;\Big|\;x,y\in\mathbb{R}\right\}.
O conteúdo aqui é teste de pertencimento a um subespaço dado em forma paramétrica: basta tentar escrever v na forma de W e ver se existe solução para x e y.

Passo 2

Igualamos as entradas correspondentes de v\) e da matriz genérica de \(W\): \[\begin{cases} x = 1,\\\ x + y = 2. \end{cases}
Da primeira equação vem (x=1]. Substituindo na segunda,
1 + y = 2 \quad\Longrightarrow\quad y = 1.

Passo 3

Usamos x=1 e y=1 para conferir as outras entradas:
\text{(1,3): }x+3y = 1 + 3\cdot1 = 4\quad(\text{bate com }v_{1,3}=4),
\text{(2,1): }x = 1\quad(\text{bate com }v_{2,1}=1),
\text{(2,2): }-x = -1\quad(\text{bate com }v_{2,2}=-1),
\text{(2,3): }x-y = 1 - 1 = 0\quad(\text{não bate com }v_{2,3}=3).ã
Como a entrada (2,3) não confere, não há (x,y) que reproduza v.

Resposta

v\notin W.

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