Exercício 2: Verifique se o vetor v pertence ao subespaço vetorial W : v=(1,2,1) e W=\{(x, x+y, 2 x-y) \mid x, y \in \mathbb{R}\}; \quad V=\mathbb{R}^{3}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o vetor
v = (1,2,1)
pertence ao subespaço
W = \{(x,\;x+y,\;2x-y)\mid x,y\in\mathbb{R}\}\subset \mathbb{R}^3.
Para isso, precisamos encontrar se existem x e y tais que
(1,2,1) = (x,\;x+y,\;2x-y).
Passo 2
Igualando componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} x = 1,\\\ x + y = 2,\\\\ 2x - y = 1. \end{cases}
Passo 3
Da primeira equação vem imediatamente
x = 1.
Substituindo em x + y = 2, temos
1 + y = 2 \quad\Longrightarrow\quad y = 1.
Passo 4
Com x=1 e y=1, conferimos a terceira equação:
2x - y = 2\cdot1 - 1 = 1,
que bate com a componente desejada. Logo o sistema é compatível.
Resposta
O vetor v=(1,2,1) pertence a W, pois existem x=1 e y=1 que geram v em W.