Exercício 1: Verifique se W é um subespaço vetorial de V :
W=\{(x, y, z, t) \mid x+y+2 t=0, x-z=0\} ;\quad V=\mathbb{R}^{4}

Passo 1

O enunciado define \displaystyle W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid x+y+2t=0,\;x-z=0\}
e pede para verificar se W é subespaço de V=\mathbb{R}^4.
A teoria diz que um subconjunto W\subset V é subespaço vetorial se, e somente se:
  1. o vetor zero está em W,
  2. W é fechado sob adição,
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0,0) satisfaz as duas equações:
0+0+2\cdot0=0,\quad 0-0=0.
Como as igualdades são verdadeiras, (0,0,0,0)\in W.

Passo 3

Fechamento sob adição: sejam
u=(x_1,y_1,z_1,t_1)\in W,\quad v=(x_2,y_2,z_2,t_2)\in W.
Então
x_1+y_1+2t_1=0,\;x_1-z_1=0, \quad x_2+y_2+2t_2=0,\;x_2-z_2=0.
Analisamos u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2,\;t_1+t_2).
Pela linearidade,
(x_1+x_2)+(y_1+y_2)+2(t_1+t_2) =(x_1+y_1+2t_1)+(x_2+y_2+2t_2)=0+0=0,
(x_1+x_2)-(z_1+z_2) =(x_1-z_1)+(x_2-z_2)=0+0=0.
Logo u+v\in W.

Passo 4

Fechamento sob escalar: seja \alpha\in\mathbb{R} e u=(x,y,z,t)\in W tal que
x+y+2t=0,\quad x-z=0.
Então \alpha u=(\alpha x,\alpha y,\alpha z,\alpha t) satisfaz
\alpha x+\alpha y+2\,\alpha t =\alpha\,(x+y+2t)=\alpha\cdot0=0,
\alpha x-\alpha z =\alpha\,(x-z)=\alpha\cdot0=0.
Logo \alpha u\in W.

Resposta

Sim. W satisfaz as três propriedades e, portanto, é subespaço vetorial de \mathbb{R}^4.

Exercícios relacionados