Exercício 1: Verifique se W é um subespaço vetorial de V :
Passo 1
O enunciado define
e pede para verificar se é subespaço de
.
A teoria diz que um subconjunto é subespaço vetorial se, e somente se:
e pede para verificar se
A teoria diz que um subconjunto
- o vetor zero está em
, -
é fechado sob adição, -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero
satisfaz as duas equações:
Como as igualdades são verdadeiras,
.
Passo 3
Fechamento sob adição: sejam
Então
Analisamos
.
Pela linearidade,
Pela linearidade,
Logo
.
Passo 4
Fechamento sob escalar: seja
e
tal que
Então
satisfaz
Logo
.
Resposta
Sim.
satisfaz as três propriedades e, portanto, é subespaço vetorial de
.