Dada a base formada pelos vetores
. Determinar
e
tais que
, sendo
.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
- Vetores fornecidos:
-
- O que é pedido: encontrar
e tais que
Passo 2
Ideia básica (explicação didática): dois vetores em
são iguais se e somente se suas componentes correspondentes são iguais. Então, escrevendo a combinação linear por componentes e igualando aos componentes de
obtemos um sistema de duas equações para
e
. Vou montar esse sistema a seguir.
Passo 3
Escrevendo a igualdade por componentes:
Como isso deve ser igual a
, obtemos o sistema
Passo 4
Resolver o sistema passo a passo.
Da segunda equação vem
Da segunda equação
Passo 5
Substituir
na primeira equação
:
Passo 6
Verificação final (para ter certeza e treinar o raciocínio): calcular
com os valores encontrados:
Confere certinho.
Passo 7
Comentário didático curto sobre unicidade: como
e
formam uma base (são linearmente independentes em
), a representação de
por combinação linear é única. Uma forma rápida de ver independência é calcular o determinante da matriz cujas colunas são
e
:
logo a matriz é invertível e a solução é única.