Dada a base formada pelos vetores \vec{u}=(1,-2), \vec{v}=(2,0). Determinar a_{1} e a_{2} tais que \vec{w}=a_{1} \vec{u}+ a_{2} \vec{v}, sendo \vec{w}=(0,2).

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Vetores fornecidos:
    • \vec{u}=(1,-2)
    • \vec{v}=(2,0)
    • \vec{w}=(0,2)
  • O que é pedido: encontrar a_{1} e a_{2} tais que
\vec{w}=a_{1}\vec{u}+a_{2}\vec{v}.

Passo 2

Ideia básica (explicação didática): dois vetores em \mathbb{R}^2 são iguais se e somente se suas componentes correspondentes são iguais. Então, escrevendo a combinação linear por componentes e igualando aos componentes de \vec{w} obtemos um sistema de duas equações para a_{1} e a_{2}. Vou montar esse sistema a seguir.

Passo 3

Escrevendo a igualdade por componentes:
a_{1}\vec{u}+a_{2}\vec{v} = a_{1}(1,-2)+a_{2}(2,0) = (a_{1}+2a_{2},\,-2a_{1}+0\cdot a_{2}).
Como isso deve ser igual a \vec{w}=(0,2), obtemos o sistema
\begin{cases} a_{1}+2a_{2}=0,\\[4pt] -2a_{1}=2. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo.
Da segunda equação -2a_{1}=2 vem
a_{1}=\frac{2}{-2}=-1.

Passo 5

Substituir a_{1}=-1 na primeira equação a_{1}+2a_{2}=0:
-1+2a_{2}=0 \quad\Rightarrow\quad 2a_{2}=1 \quad\Rightarrow\quad a_{2}=\dfrac{1}{2}.

Passo 6

Verificação final (para ter certeza e treinar o raciocínio): calcular a_{1}\vec{u}+a_{2}\vec{v} com os valores encontrados:
-1\cdot(1,-2)+\tfrac{1}{2}\cdot(2,0)=(-1,2)+(1,0)=(0,2)=\vec{w}.
Confere certinho.

Passo 7

Comentário didático curto sobre unicidade: como \vec{u} e \vec{v} formam uma base (são linearmente independentes em \mathbb{R}^2), a representação de \vec{w} por combinação linear é única. Uma forma rápida de ver independência é calcular o determinante da matriz cujas colunas são \vec{u} e \vec{v}:
\det\begin{pmatrix}1&2\\\ -2&0\end{pmatrix}=1\cdot0-2\cdot(-2)=4\neq0,
logo a matriz é invertível e a solução é única.

Resposta

a_{1}=-1
a_{2}=\dfrac{1}{2}

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