Exiba uma base para os seguintes subespaços de
listados a seguir. Qual é a dimensão destes?.
a)
.
a)
Passo 1
O enunciado pede uma base e a dimensão do subespaço
definido pelas condições
O tema aqui é encontrar a forma geral de um vetor em
resolvendo esse sistema de equações lineares e, a partir daí, extrair vetores geradores, verificar independência linear e determinar a dimensão.
Passo 2
Um vetor genérico em
tem coordenadas
sujeitas a
Logo todo vetor de
pode ser escrito como
Passo 3
Escrevendo
como combinação linear de parâmetros livres
e
, temos
Os vetores
e
geram
. Para ver que são independentes, note que
implica
e
.
Passo 4
Como
é um conjunto de vetores geradores e linearmente independentes, trata-se de uma base de
. O número de vetores da base é a dimensão de
.
Resposta
Uma base de
é
e