Exiba uma base para os seguintes subespaços de \mathbb{R}^{4} listados a seguir. Qual é a dimensão destes?.
a) \mathcal{G}=\{(x, y, z, w) / x=y, z=w\}.

Passo 1

O enunciado pede uma base e a dimensão do subespaço
\mathcal{G}\subset\mathbb{R}^{4} definido pelas condições
x = y, \quad z = w.
O tema aqui é encontrar a forma geral de um vetor em \mathcal{G} resolvendo esse sistema de equações lineares e, a partir daí, extrair vetores geradores, verificar independência linear e determinar a dimensão.

Passo 2

Um vetor genérico em \mathcal{G} tem coordenadas (x,y,z,w) sujeitas a
y = x \quad\text{e}\quad w = z.
Logo todo vetor de \mathcal{G} pode ser escrito como
(x,y,z,w) = (x,x,z,z).

Passo 3

Escrevendo (x,x,z,z) como combinação linear de parâmetros livres x e z, temos
(x,x,z,z) = x\,(1,1,0,0) \;+\; z\,(0,0,1,1).
Os vetores (1,1,0,0) e (0,0,1,1) geram \mathcal{G}. Para ver que são independentes, note que
\alpha\,(1,1,0,0) + \beta\,(0,0,1,1) = (0,0,0,0)
implica \alpha=0 e \beta=0.

Passo 4

Como \{(1,1,0,0),\,(0,0,1,1)\} é um conjunto de vetores geradores e linearmente independentes, trata-se de uma base de \mathcal{G}. O número de vetores da base é a dimensão de \mathcal{G}.

Resposta

Uma base de \mathcal{G} é
\{(1,1,0,0),\;(0,0,1,1)\},
e \dim(\mathcal{G}) = 2.

Exercícios relacionados