Responda as seguintes questões:
ii) W=\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} / f(x) \leq 0, x \in \mathbb{R}\}) é subespaço vetorial de \mathcal{F}(\mathbb{R}) ?. Justifique.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
W = \{\,f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \mid f(x)\le 0,\;\forall x\in\mathbb{R}\}
e pergunta se W é subespaço vetorial de \mathcal{F}(\mathbb{R}). Vamos usar os critérios de subespaço: conter o vetor zero, fechar em adição e em multiplicação por escalares.

Passo 2

Verificamos primeiro o elemento zero e a aditividade. A função nula f_0 definida por
f_0(x)=0,\quad\forall x\in\mathbb{R}
satisfaz f_0(x)\le 0, logo f_0\in W. Se f,g\in W, então
f(x)\le 0\quad\text{e}\quad g(x)\le 0
implicam
(f+g)(x)=f(x)+g(x)\le 0+0=0,
portanto f+g\in W. Assim, W contém o zero e é fechado sob adição.

Passo 3

Agora testamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja f\in W e c\in\mathbb{R}. Se c<0 e f não for identicamente nula, então para todo x com f(x)<0 temos
(c\,f)(x)=c\cdot f(x)>0,
logo c\,f\notin W. Por exemplo, a função constante f(x)=-1 pertence a W, mas (-1)\cdot f é a função g(x)=1, que não satisfaz g(x)\le0.

Passo 4

Como W falha o fechamento sob multiplicação por escalar, não satisfaz todos os critérios de subespaço vetorial.

Resposta

Não, W não é subespaço vetorial de \mathcal{F}(\mathbb{R}), pois não é fechado sob multiplicação por escalar (por exemplo, (-1)\cdot f\notin W para f(x)=-1).

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