Responda as seguintes questões:
ii)
) é subespaço vetorial de
?. Justifique.
ii)
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pergunta se
é subespaço vetorial de
. Vamos usar os critérios de subespaço: conter o vetor zero, fechar em adição e em multiplicação por escalares.
Passo 2
Verificamos primeiro o elemento zero e a aditividade. A função nula
definida por
satisfaz
, logo
. Se
, então
implicam
portanto
. Assim,
contém o zero e é fechado sob adição.
Passo 3
Agora testamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
e
. Se
e
não for identicamente nula, então para todo
com
temos
logo
. Por exemplo, a função constante
pertence a
, mas
é a função
, que não satisfaz
.
Passo 4
Como
falha o fechamento sob multiplicação por escalar, não satisfaz todos os critérios de subespaço vetorial.
Resposta
Não,
não é subespaço vetorial de
, pois não é fechado sob multiplicação por escalar (por exemplo,
para
).