(4,0) Considere os vetores \vec{u}=2 \vec{i}-\vec{j}+\vec{k} e \vec{v}=\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}.
a) O vetor \vec{u} é ortogonal a \vec{v} ?
b) Encontre um vetor \vec{w} que seja ortogonal a \vec{u} e \vec{v} ao mesmo tempo.
c) Determine o volume do paralelepípedo gerado por \vec{u}, \vec{v} e \vec{w}.
Passo 1
O enunciado dá os vetores \vec{u}=2\vec{i}-\vec{j}+\vec{k} e \vec{v}=\vec{i}+\vec{j}-\vec{k} e pede:
(a) verificar se \vec{u} é ortogonal a \vec{v};
(b) encontrar um vetor \vec{w} ortogonal a ambos;
(c) calcular o volume do paralelepípedo gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}.
Vamos usar produto escalar para (a), produto vetorial para (b) e produto misto (determinante) para (c).
Passo 2
Calculamos o produto escalar para testar ortogonalidade:
O volume do paralelepípedo formado por \vec{u},\vec{v},\vec{w} é o valor absoluto do determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são essas componentes: