(4,0) Considere os vetores \vec{u}=2 \vec{i}-\vec{j}+\vec{k} e \vec{v}=\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}.
a) O vetor \vec{u} é ortogonal a \vec{v} ?
b) Encontre um vetor \vec{w} que seja ortogonal a \vec{u} e \vec{v} ao mesmo tempo.
c) Determine o volume do paralelepípedo gerado por \vec{u}, \vec{v} e \vec{w}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=2\vec{i}-\vec{j}+\vec{k} e \vec{v}=\vec{i}+\vec{j}-\vec{k} e pede:
(a) verificar se \vec{u} é ortogonal a \vec{v};
(b) encontrar um vetor \vec{w} ortogonal a ambos;
(c) calcular o volume do paralelepípedo gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}.
Vamos usar produto escalar para (a), produto vetorial para (b) e produto misto (determinante) para (c).

Passo 2

Calculamos o produto escalar para testar ortogonalidade:
\vec{u}\cdot\vec{v} =2\cdot1 + (-1)\cdot1 + 1\cdot(-1) =2 - 1 - 1 =0.
Como \vec{u}\cdot\vec{v}=0, concluímos que \vec{u} é ortogonal a \vec{v}.

Passo 3

Para obter \vec{w} ortogonal a \vec{u} e \vec{v} fazemos o produto vetorial:
\vec{u}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\\\ 2 & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} =0\,\vec{i} +3\,\vec{j} +3\,\vec{k}.
Logo, um vetor \vec{w} que serve é
\vec{w}=0\,\vec{i}+3\,\vec{j}+3\,\vec{k} \quad\text{(ou simplificado \(\vec{w}=3\vec{j}+3\vec{k}\)).}

Passo 4

O volume do paralelepípedo formado por \vec{u},\vec{v},\vec{w} é o valor absoluto do determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são essas componentes:
V = \Bigl|\det[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\Bigr| = \left|\det\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & -1\\\\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}\right|.
Calculando:
\det =2\,(1\cdot3 -(-1)\cdot3) -(-1)\,(1\cdot3 -(-1)\cdot0) +1\,(1\cdot3 -1\cdot0) =2\cdot6 +1\cdot3 +1\cdot3 =18.
Portanto V=|18|=18.

Resposta

(a) Sim, \vec{u}\perp\vec{v}.
(b) \vec{w}=3\vec{j}+3\vec{k}.
(c) 18.

Exercícios relacionados