Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(a) T: \mathbf{M}(2,2) \rightarrow \mathbb{R} definida por T\left(\left[\begin{array}{cc}x & y \\\ z & w\end{array}\right]\right)=\operatorname{det}\left[\begin{array}{cc}x & y \\\ z & w\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado define
T\colon M(2,2)\to\mathbb{R},\qquad T\!\Bigl(\begin{bmatrix}x & y\\\ z & w\end{bmatrix}\Bigr) =\det\!\begin{bmatrix}x & y\\\ z & w\end{bmatrix}.
Para ser transformação linear, T precisaria satisfazer, para todos A,B\in M(2,2) e todo escalar c\in\mathbb{R},
  1. T(A+B)=T(A)+T(B) (aditividade)
  2. T(cA)=c\,T(A) (homogeneidade)

Passo 2

Basta encontrar um contraexemplo à aditividade. Seja
A=I=\begin{bmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{bmatrix},\quad B=I.
Então
T(I+I)=T(2I)=\det(2I)=2^2\det(I)=4,
porém
T(I)+T(I)=\det(I)+\det(I)=1+1=2.
Como 4\neq2, a aditividade falha, logo T não é linear.

Resposta

T não é uma transformação linear.

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