(2,0) Dados os pontos A=(3,-4,-2) e B=(1,-2,5), determine o ponto N pertencente ao segmento A B tal que \overrightarrow{A N}=\frac{3}{5} \overrightarrow{A B}.

Passo 1

O enunciado pede o ponto N sobre o segmento AB tal que \overrightarrow{AN} = \tfrac{3}{5}\,\overrightarrow{AB}.
O conteúdo é geometria vetorial em \mathbb{R}^3; vamos usar a relação
N = A + \tfrac{3}{5}\,\overrightarrow{AB}.

Passo 2

Calcular o vetor \overrightarrow{AB}:
\overrightarrow{AB} = B - A = (1-3,\,-2-(-4),\,5-(-2)) = (-2,\,2,\,7)

Passo 3

Multiplicar \overrightarrow{AB} por \tfrac{3}{5}:
\tfrac{3}{5}\,\overrightarrow{AB} = \bigl(-\tfrac{6}{5},\,\tfrac{6}{5},\,\tfrac{21}{5}\bigr)

Passo 4

Determinar N somando ao ponto A o vetor \tfrac{3}{5}\,\overrightarrow{AB}:
N = A + \tfrac{3}{5}\,\overrightarrow{AB} = (3,\,-4,\,-2) + \bigl(-\tfrac{6}{5},\,\tfrac{6}{5},\,\tfrac{21}{5}\bigr) = \Bigl(\tfrac{9}{5},\,-\tfrac{14}{5},\,\tfrac{11}{5}\Bigr)

Resposta

N = \bigl(\tfrac{9}{5},\,-\tfrac{14}{5},\,\tfrac{11}{5}\bigr)

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