(2,0) Os pontos A=(4,-1,-2), B=(2,5,-6) e C=(1,-1,-2) são vértices de um triângulo? Caso a resposta seja afirmativa, calcule a área do triângulo.

Passo 1

O enunciado dá três pontos no espaço: \displaystyle A=(4,-1,-2), \displaystyle B=(2,5,-6) e \displaystyle C=(1,-1,-2).
Pergunta-se se são vértices de um triângulo (isto é, não colineares) e, em caso afirmativo, qual a área do triângulo.
Para isso, vamos usar a ideia de que três pontos são não colineares se, ao formar dois vetores saindo de um deles, esses vetores têm produto vetorial não nulo. Além disso, a área de um triângulo dado por dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} é
\text{área} = \tfrac12 \bigl\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\bigr\|.á

Passo 2

Escolhemos o ponto A como origem dos vetores. Calculamos
\mathbf{AB} = B - A = (2-4,\;5-(-1),\;-6-(-2)) = (-2,\,6,\,-4),
\mathbf{AC} = C - A = (1-4,\;-1-(-1),\;-2-(-2)) = (-3,\,0,\,0).

Passo 3

Calculamos o produto vetorial
\mathbf{AB}\times\mathbf{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -2 & 6 & -4\\\\ -3 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (0,\,-12,\,-18).

Passo 4

Como \mathbf{AB}\times\mathbf{AC} = (0,-12,-18)\neq (0,0,0), os vetores não são colineares e, portanto, A,B,C formam um triângulo.
A área vale
\frac12\bigl\|\mathbf{AB}\times\mathbf{AC}\bigr\| = \frac12\sqrt{0^2 + (-12)^2 + (-18)^2} = \frac12\sqrt{144 + 324} = \frac12\sqrt{468} = 3\sqrt{13}.

Resposta

Sim, os pontos são vértices de um triângulo.
A área do triângulo é 3\sqrt{13}.

Exercícios relacionados