Encontre vetores \overrightarrow{w_{1}} e \overrightarrow{w_{2}} de módulo 18 que sejam ortogonais simultaneamente a \vec{u}=(2,-1,0) e \vec{v}=(2,-4,3).

Passo 1

O enunciado pede vetores \overrightarrow{w} em \mathbb{R}^3 de módulo 18 que satisfaçam
\overrightarrow{w}\cdot\vec{u}=0 \quad\text{e}\quad \overrightarrow{w}\cdot\vec{v}=0,
onde \vec{u}=(2,-1,0) e \vec{v}=(2,-4,3). Em \mathbb{R}^3, o espaço ortogonal comum a dois vetores independentes é a reta gerada pelo produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}.

Passo 2

Vamos calcular o produto vetorial
\vec{u}\times\vec{v} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 2&-1&0\\\\ 2&-4&3 \end{vmatrix} =\mathbf{i}\bigl((-1)\cdot3-0\cdot(-4)\bigr) -\mathbf{j}\bigl(2\cdot3-0\cdot2\bigr) +\mathbf{k}\bigl(2\cdot(-4)-(-1)\cdot2\bigr).
Fazendo as contas:
\vec{u}\times\vec{v} =(-3)\,\mathbf{i} -6\,\mathbf{j} +(-6)\,\mathbf{k} =(-3,-6,-6).

Passo 3

Observe que (-3,-6,-6) é paralelo a (1,2,2), pois
(-3,-6,-6) = -3\,(1,2,2).
Logo todo vetor \overrightarrow{w} ortogonal a \vec{u} e \vec{v} pode ser escrito como
\overrightarrow{w} =t\,(1,2,2), \quad t\in\mathbb{R}.

Passo 4

O módulo de \overrightarrow{w}=t\,(1,2,2) é
\|\overrightarrow{w}\| =|t|\sqrt{1^2+2^2+2^2} =|t|\sqrt{1+4+4} =3|t|.
Queremos \|\overrightarrow{w}\|=18, então
3|t|=18 \quad\Longrightarrow\quad |t|=6.

Passo 5

Assim, podemos escolher
t=6 \quad\text{e}\quad t=-6
para obter dois vetores de módulo 18 e ortogonais a \vec{u} e \vec{v}.

Resposta

\overrightarrow{w_{1}}=(6,12,12) \overrightarrow{w_{2}}=(-6,-12,-12)

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