( 3,0 pts) Determine o intervalo de convergência da série de potências
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{\ln (n+1)}(x-1)^{n}
Resolução: Vamos utilizar o teste da razão para determinar o raio de convergência. Chamando
a_{n}=\frac{2^{n}}{\ln (n+1)}(x-1)^{n} , temos que
\begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| & =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n+1}}{\ln (n+2)}|x-1|^{n+1} \cdot \frac{\ln (n+1)}{2^{n}} \frac{1}{|x-1|^{n}} \\\ & =2 \cdot|x-1| \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{\ln (n+1)}{\ln (n+2)}\right] \\\ & =2 \cdot|x-1| \end{aligned}
pois, por L’Hospital
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln (x+1)}{\ln (x+2)}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x+2}{x+1}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1+(2 / x)}{1+(1 / x)}=1 .
Assim, pelo teste da razão, a série converge para
2 \cdot|x-1|<1 e diverge para
2 \cdot|x-1|>1 .
Ainda devemos analisar quando
2 \cdot|x-1|=1 , isto é, quando
x-1= \pm \frac{1}{2} .
Primeiro caso: quando
x-1=-\frac{1}{2} , isto é,
x=\frac{1}{2} temos a série
f\left(\frac{1}{2}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{\ln (n+1)}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\ln (n+1)} .
Como
\frac{1}{\ln (x+1)} é decrescente e
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{\ln (x+1)}=0 , segue do Teste para Séries
Alternadas que a série
f\left(\frac{1}{2}\right) é convergente.
Segundo caso: 9 quando
x-1=\frac{1}{2} , isto é,
x=\frac{3}{2} temos a série
f\left(\frac{3}{2}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{\ln (n+1)}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln (n+1)} .
Usando o Teste da Comparação temos que
\frac{1}{\ln (n+1)} \geq \frac{1}{n+1}
Como a série harmônica diverge, segue que
f\left(\frac{3}{2}\right) também diverge.
Concluímos que o intervalo de convergência é
\frac{1}{2} \leq x<\frac{3}{2} .