Considere os vetores vec{u}=(-1,0,2), vec{v}=(0,1, m) e vec{w}=(3,2,-1), com m um valor real.
( 1,0 ) Para quais valores reais de m o conjunto {\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}}) é uma base?

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3 dependendo de um parâmetro real m:
\vec{u}=(-1,0,2),\qquad \vec{v}=(0,1,m),\qquad \vec{w}=(3,2,-1).
A pergunta é: para quais valores reais de m o conjunto \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} é uma base de \mathbb{R}^3?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os vetores estão em \mathbb{R}^3.
  • Um conjunto de três vetores em \mathbb{R}^3 é base se, e somente se, os vetores forem linearmente independentes (equivalente a a matriz formada por eles ser invertível).
  • O parâmetro m aparece apenas na segunda componente de \vec{v}.

Passo 2

Conceito útil (explicação didática):
Um conjunto de três vetores em \mathbb{R}^3 forma uma base quando são linearmente independentes e, automaticamente, geram todo \mathbb{R}^3. Uma forma prática de testar independência é montar a matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores e calcular seu determinante: se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e as colunas são linearmente independentes; se o determinante for zero, há dependência linear.

Passo 3

Montamos a matriz A cujas colunas são \vec{u},\vec{v},\vec{w}:
A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 2 & m & -1 \end{pmatrix}.
Vamos calcular \det(A). Usando a expansão pela primeira linha (regra dos cofatores, com sinais +,-,+):
\det(A)=(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] m & -1\end{pmatrix} -0\cdot\det(\cdots) +3\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 2 & m\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcule os menores 2×2:
\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] m & -1\end{pmatrix}=1\cdot(-1)-2\cdot m=-1-2m,
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 2 & m\end{pmatrix}=0\cdot m-1\cdot 2=-2.
Substituindo na expressão do determinante:
\det(A)=(-1)\cdot(-1-2m)+3\cdot(-2).
Compute passo a passo:
(-1)\cdot(-1-2m)=1+2m,\qquad 3\cdot(-2)=-6,
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\det(A)=1+2m-6=2m-5.]

Passo 5

Interpretação do resultado (didática):
A matriz A é invertível exatamente quando \det(A)\neq 0. Portanto os vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente independentes — e formam uma base de \mathbb{R}^3 — se, e somente se,
2m-5\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad m\neq \tfrac{5}{2}.

Passo 6

Verificação adicional (exemplo concreto para fixar a ideia): quando m=\tfrac{5}{2}\) temos \(\det(A)=0\) e os vetores são linearmente dependentes. De fato, colocando \(m=\tfrac{5}{2}\) e procurando coeficientes \(a,b,c\) não todos nulos tais que \(a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}=\vec{0}\), obtemos o sistema \[\begin{cases} -a+3c=0,\\[4pt] b+2c=0,\\[4pt] 2a+\dfrac{5}{2}b-c=0. \end{cases}
Escolhendo c=1\] dá \(a=3 e b=-2, e verifica-se que a terceira equação também é satisfeita. Assim existe uma combinação linear não trivial (por exemplo 3\vec{u}-2\vec{v}+\vec{w}=\vec{0}), confirmando dependência para m=\tfrac{5}{2}.]

Resposta

m\neq \dfrac{5}{2}

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