Considere os vetores vec{u}=(-1,0,2), vec{v}=(0,1, m) e vec{w}=(3,2,-1), com m um valor real.
( 1,0 ) Para quais valores reais de m o conjunto {\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}}) é uma base?
Passo 1
O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3 dependendo de um parâmetro real m:
A pergunta é: para quais valores reais de m o conjunto \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} é uma base de \mathbb{R}^3?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Os vetores estão em \mathbb{R}^3.
Um conjunto de três vetores em \mathbb{R}^3 é base se, e somente se, os vetores forem linearmente independentes (equivalente a a matriz formada por eles ser invertível).
O parâmetro m aparece apenas na segunda componente de \vec{v}.
Passo 2
Conceito útil (explicação didática):
Um conjunto de três vetores em \mathbb{R}^3 forma uma base quando são linearmente independentes e, automaticamente, geram todo \mathbb{R}^3. Uma forma prática de testar independência é montar a matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores e calcular seu determinante: se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e as colunas são linearmente independentes; se o determinante for zero, há dependência linear.
Passo 3
Montamos a matriz A cujas colunas são \vec{u},\vec{v},\vec{w}:
Interpretação do resultado (didática):
A matriz A é invertível exatamente quando \det(A)\neq 0. Portanto os vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente independentes — e formam uma base de \mathbb{R}^3 — se, e somente se,
Verificação adicional (exemplo concreto para fixar a ideia): quando m=\tfrac{5}{2}\) temos \(\det(A)=0\) e os vetores são linearmente dependentes. De fato, colocando \(m=\tfrac{5}{2}\) e procurando coeficientes \(a,b,c\) não todos nulos tais que \(a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}=\vec{0}\), obtemos o sistema
\[\begin{cases} -a+3c=0,\\[4pt] b+2c=0,\\[4pt] 2a+\dfrac{5}{2}b-c=0. \end{cases}
Escolhendo c=1\] dá \(a=3 e b=-2, e verifica-se que a terceira equação também é satisfeita. Assim existe uma combinação linear não trivial (por exemplo 3\vec{u}-2\vec{v}+\vec{w}=\vec{0}), confirmando dependência para m=\tfrac{5}{2}.]