Use escalonamento de matrizes para determinar para quais valores de a o sistematinear
x-2 y+z+a w & =-1 2 x-2 y+z+(3+2 a) w & =2 -x+2 y+2 z-3 w & =2 a-3 3 z+(a^2-3 a) w & =3 a-5
Possui infinitas soluções.

Passo 1

O sistema de quatro equações lineares em (x,y,z,w) com parâmetro a é
x-2y+z+a,w &= -1, 2x-2y+z+(3+2a),w &=2, -x+2y+2z-3w &=2a-3, 3z+(a^2-3a),w &=3a-5
Vamos montar a matriz aumentada e escalonar, usando o conceito de posto para determinar compatibilidade e infinitas soluções.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e fazemos R2 R2-2R1 e R3 R3+R1:
[rrrr|r 1 & -2 & 1 & a & -1 2 & -2 & 1 & 3+2a & 2 -1& 2 & 2 & -3 & 2a-3 0 & 0 & 3 & a^2-3a & 3a-5 ] ;xrightarrowR2-2R1,;R3+R1; [rrrr|r 1 & -2 & 1 & a & -1 0 & 2 & -1& 3 & 4 0 & 0 & 3 & a-3 & 2a-4 0 & 0 & 3 & a^2-3a & 3a-5 ]

Passo 3

Agora subtraímos R3 de R4:
R4 R4 - R3 Longrightarrow [rrrr|r 1 & -2 & 1 & a & -1 0 & 2 & -1& 3 & 4 0 & 0 & 3 & a-3 & 2a-4 0 & 0 & 0 & (a^2-4a+3) & (a-1) ] = [rrrr|r 1 & -2 & 1 & a & -1 0 & 2 & -1& 3 & 4 0 & 0 & 3 & a-3 & 2a-4 0 & 0 & 0 & (a-1)(a-3) & a-1 ]

Passo 4

Para o sistema ter infinitas soluções, o posto da matriz de coeficientes deve ser menor que o número de incógnitas ( 4) e o sistema deve ser compatível. A última linha exige
(a-1)(a-3)=0 e a-1=0,
para que ela seja 0=0. A única solução comum é
a=1

Resposta

O sistema possui infinitas soluções se, e somente se, a=1.

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