Considere os vetores u=(1,4,-7), v=(2,-1,4), w=(0,-9,18) e p=(0,-9,17). Verifique se os vetores u, p, v, e w são coplanares.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores u=(1,4,-7), v=(2,-1,4), w=(0,-9,18) e p=(0,-9,17) são coplanares, ou seja, se todos eles pertencem a um mesmo plano em R^3. Vamos usar o produto misto (produto escalar triplo) para fazer esse teste.

Passo 2

Definição: para três vetores a,b,cinR^3, o produto misto é
[a,b,c] ;=;acdot(btimesc)
Se [a,b,c]=0, então a,b,c são coplanares.

Passo 3

Calculemos [u,v,w]. Primeiro
vtimesw = (2,-1,4)times(0,-9,18) = (18,-36,-18).
Depois
[u,v,w] = (1,4,-7)cdot(18,-36,-18) = 18 - 144 + 126 = 0
Como o produto misto é zero, u,v,w são coplanares.

Passo 4

Agora calculemos [u,v,p]. Primeiro
vtimesp = (2,-1,4)times(0,-9,17) = (19,-34,-18).
Depois
[u,v,p] = (1,4,-7)cdot(19,-34,-18) = 19 - 136 + 126 = 9 neq 0
Como o resultado é diferente de zero, p não pertence ao plano gerado por u,v,w.

Resposta

Os quatro vetores não são coplanares.

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