Considere os vetores A=(-1,2,3) e B=(3,4,2).O vetor C=(2,6,6) é combinação linear de A e B ? E o vetor D=(-9,-2,5) ?
Neste caso, A, B e C são e A, B e D são (Justifique)
R: N, S

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre vetores e combinações lineares. Precisamos verificar se o vetor C = (2, 6, 6) e o vetor D = (-9, -2, 5) podem ser escritos como combinação linear dos vetores A = (-1, 2, 3) e B = (3, 4, 2). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é combinação linear. Dizemos que um vetor V é combinação linear de A e B se existirem escalares x e y tais que:
V = xA + yB
Isso significa que cada componente de V é uma soma das componentes correspondentes de A e B multiplicadas por x e y, respectivamente.

Passo 3

Aplicando isso ao vetor [C = (2, 6, 6)), temos:
Vamos quebrar isso em três equações, uma para cada componente:
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de .

Passo 4

Resolvendo a segunda equação:
2x + 4y = 6 Rightarrow x + 2y = 3 Rightarrow x = 3 - 2y
Substituindo x na primeira equação:
-1(3 - 2y) + 3y = 2 Rightarrow -3 + 2y + 3y = 2 Rightarrow 5y = 5 Rightarrow y = 1
Agora, substituindo y = 1 na expressão de x:
x = 3 - 2(1) = 1

Passo 5

Vamos verificar na terceira equação:
3(1) + 2(1) = 3 + 2 = 5 neq 6
Como as equações não são consistentes, o vetor C não é combinação linear de A e B.

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para o vetor D = (-9, -2, 5):
(-9, -2, 5) = x(-1, 2, 3) + y(3, 4, 2)
Novamente, quebramos em três equações:
-1x + 3y = -9 2x + 4y = -2 3x + 2y = 5

Passo 7

Resolvendo a segunda equação:
2x + 4y = -2 Rightarrow x + 2y = -1 Rightarrow x = -1 - 2y
Substituindo x na primeira equação:
-1(-1 - 2y) + 3y = -9 Rightarrow 1 + 2y + 3y = -9 Rightarrow 5y = -10 Rightarrow y = -2
Agora, substituindo y = -2 na expressão de x:
x = -1 - 2(-2) = -1 + 4 = 3

Passo 8

Vamos verificar na terceira equação:
3(3) + 2(-2) = 9 - 4 = 5
Como todas as equações são satisfeitas, o vetor D sim é combinação linear de A e B.

Resposta

A, B e C são N e A, B e D são S.

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