Seja R: Mat(2) P2(t) uma transformação linear entre espaços vetoriais de matrizes quadradas de orderm 2 e polinomios de grau menor ou igual de 2, definido como
R(ll a & b c & d )=(c+b)+a t+d t^2
Achar a matriz R dessa transformação linear na bases canonicas de Mat(2) e P2(t).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear chamada R que pega matrizes 2x2 e transforma em polinômios de grau até 2. A ideia é descobrir qual é a matriz dessa transformação quando usamos as bases canônicas de Mat(2) e P2(t). Para isso, vamos precisar lembrar como representar transformações lineares em forma de matriz usando as bases dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as bases canônicas dos espaços envolvidos.
  • Para Mat(2), que são as matrizes 2x2, a base canônica é formada por quatro matrizes, cada uma com um “1” em uma posição diferente e zeros nas outras. São elas:
E11 = 1 & 0 0 & 0, E12 = 0 & 1 0 & 0, E21 = 0 & 0 1 & 0, E22 = 0 & 0 0 & 1
  • Para P2(t), que são os polinômios de grau até 2, a base canônica é:
1, t, t^2

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformação R a cada uma das matrizes da base canônica de Mat(2). A transformação está definida por:
R(ll a & b c & d )=(c+b) + a t + d t^2
Vamos calcular R(E11), R(E12), R(E21) e R(E22).

Passo 4

Vamos começar com R(E11). Substituindo a=1, b=0, c=0, d=0 na fórmula de R:
R(E11) = (0 + 0) + 1 cdot t + 0 cdot t^2 = t
Então, R(E11) = t.

Passo 5

Agora, vamos para R(E12). Aqui, a=0, b=1, c=0, d=0:
R(E12) = (0 + 1) + 0 cdot t + 0 cdot t^2 = 1
Portanto, R(E12) = 1.

Passo 6

Seguimos com R(E21). Neste caso, a=0, b=0, c=1, d=0:
R(E21) = (1 + 0) + 0 cdot t + 0 cdot t^2 = 1
Assim, R(E21) = 1.

Passo 7

Por último, calculamos R(E22). Aqui, a=0, b=0, c=0, d=1:
R(E22) = (0 + 0) + 0 cdot t + 1 cdot t^2 = t^2
Então, R(E22) = t^2.

Passo 8

Agora que temos as imagens das matrizes base pela transformação R, vamos expressar esses resultados em coordenadas na base canônica de P2(t), que é 1, t, t^2.
  • R(E11) = t corresponde ao vetor (0, 1, 0)
  • R(E12) = 1 corresponde ao vetor (1, 0, 0)
  • R(E21) = 1 corresponde ao vetor (1, 0, 0)
  • R(E22) = t^2 corresponde ao vetor (0, 0, 1)

Passo 9

Com esses vetores, podemos formar a matriz da transformação R. Cada coluna da matriz corresponde às coordenadas das imagens das matrizes base de Mat(2) na base de P2(t). Assim, temos:
R = 0 & 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1

Resposta

A matriz R da transformação linear R nas bases canônicas de Mat(2) e P2(t) é:
R = 0 & 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1

Exercícios relacionados