Seja uma transformação linear entre espaços vetoriais de matrizes quadradas de orderm 2 e polinomios de grau menor ou igual de 2, definido como
Achar a matriz dessa transformação linear na bases canonicas de Mat(2) e .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear chamada que pega matrizes 2x2 e transforma em polinômios de grau até 2. A ideia é descobrir qual é a matriz dessa transformação quando usamos as bases canônicas de Mat(2) e . Para isso, vamos precisar lembrar como representar transformações lineares em forma de matriz usando as bases dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as bases canônicas dos espaços envolvidos.
Para Mat(2), que são as matrizes 2x2, a base canônica é formada por quatro matrizes, cada uma com um “1” em uma posição diferente e zeros nas outras. São elas:
Para P2(t), que são os polinômios de grau até 2, a base canônica é:
1, t, t^2
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transformação R a cada uma das matrizes da base canônica de Mat(2). A transformação está definida por:
R(ll a & b c & d )=(c+b) + a t + d t^2
Vamos calcular R(E11), R(E12), R(E21) e R(E22).
Passo 4
Vamos começar com R(E11). Substituindo a=1, b=0, c=0, d=0 na fórmula de R:
R(E11) = (0 + 0) + 1 cdot t + 0 cdot t^2 = t
Então, R(E11) = t.
Passo 5
Agora, vamos para R(E12). Aqui, a=0, b=1, c=0, d=0:
R(E12) = (0 + 1) + 0 cdot t + 0 cdot t^2 = 1
Portanto, R(E12) = 1.
Passo 6
Seguimos com R(E21). Neste caso, a=0, b=0, c=1, d=0:
R(E21) = (1 + 0) + 0 cdot t + 0 cdot t^2 = 1
Assim, R(E21) = 1.
Passo 7
Por último, calculamos R(E22). Aqui, a=0, b=0, c=0, d=1:
R(E22) = (0 + 0) + 0 cdot t + 1 cdot t^2 = t^2
Então, R(E22) = t^2.
Passo 8
Agora que temos as imagens das matrizes base pela transformação R, vamos expressar esses resultados em coordenadas na base canônica de P2(t), que é 1, t, t^2.
R(E11) = t corresponde ao vetor (0, 1, 0)
R(E12) = 1 corresponde ao vetor (1, 0, 0)
R(E21) = 1 corresponde ao vetor (1, 0, 0)
R(E22) = t^2 corresponde ao vetor (0, 0, 1)
Passo 9
Com esses vetores, podemos formar a matriz da transformação R. Cada coluna da matriz corresponde às coordenadas das imagens das matrizes base de Mat(2) na base de P2(t). Assim, temos:
R = 0 & 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1
Resposta
A matriz R da transformação linear R nas bases canônicas de Mat(2) e P2(t) é: