Verifique se o operador T in L(R^2) é inversível. Caso seja, encontre uma formula para o seu inverso. widehatT(x ; y)=(3 x+5 y ; 2 x+3 y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o operador T, que está mapeando pares de números reais (x, y) para outro par (3x + 5y, 2x + 3y), é inversível. Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre operadores lineares e suas inversas. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar a invertibilidade de uma matriz e, se for o caso, encontrar a matriz inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador T como uma matriz. Em álgebra linear, qualquer operador linear em R^2 pode ser representado por uma matriz A de ordem 2 times 2. Aqui, a matriz correspondente é:
A = 3 & 5 2 & 3

Passo 3

Agora, para saber se a matriz A é inversível, precisamos calcular seu determinante. O determinante de uma matriz 2 times 2 como essa é dado por:
det(A) = ad - bc
Onde a = 3, b = 5, c = 2, e d = 3. Vamos calcular:
det(A) = (3)(3) - (5)(2) = 9 - 10 = -1

Passo 4

Como o determinante de A é diferente de zero ( det(A) = -1 neq 0), isso significa que a matriz A é inversível. Ou seja, existe uma matriz A^-1 tal que:
A cdot A^-1 = I
Onde I é a matriz identidade.

Passo 5

Para encontrar a matriz inversa A^-1, usamos a fórmula para a inversa de uma matriz 2 times 2:
A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a
Substituindo os valores:
A^-1 = 1-1 3 & -5 -2 & 3 = -3 & 5 2 & -3

Resposta

O operador T é inversível, e a fórmula para seu inverso é:
T^-1(u; v) = (-3u + 5v; , 2u - 3v)

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