Verifique se o operador é inversível. Caso seja, encontre uma formula para o seu inverso. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o operador , que está mapeando pares de números reais para outro par , é inversível. Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre operadores lineares e suas inversas. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar a invertibilidade de uma matriz e, se for o caso, encontrar a matriz inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador como uma matriz. Em álgebra linear, qualquer operador linear em pode ser representado por uma matriz de ordem . Aqui, a matriz correspondente é:
Passo 3
Agora, para saber se a matriz A é inversível, precisamos calcular seu determinante. O determinante de uma matriz 2 times 2 como essa é dado por:
det(A) = ad - bc
Onde a = 3, b = 5, c = 2, e d = 3. Vamos calcular:
det(A) = (3)(3) - (5)(2) = 9 - 10 = -1
Passo 4
Como o determinante de A é diferente de zero (det(A) = -1 neq 0), isso significa que a matriz A é inversível. Ou seja, existe uma matriz A^-1 tal que:
A cdot A^-1 = I
Onde I é a matriz identidade.
Passo 5
Para encontrar a matriz inversa A^-1, usamos a fórmula para a inversa de uma matriz 2 times 2:
A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a
Substituindo os valores:
A^-1 = 1-1 3 & -5 -2 & 3 = -3 & 5 2 & -3
Resposta
O operador T é inversível, e a fórmula para seu inverso é: