Considere uma viga AB, nessa ordem, extremidades engaste-balanço com carga distribuída de 15kN/m ao longo de todo o vão de 6,0 metros. Dimensões da seção transversal 20 cm x 40 cm e o módulo de elasticidade do material desta viga é E = 180 GPa.
.
Agora aplicando o método do trabalho virtual para o cálculo do deslocamento do ponto B e a inclinação da ponta da viga. As seguintes sentenças devem ser analisadas:
I - A inclinação da ponta da viga vale 0,02 rad.
II - O deslocamento na extremidade B é igual a 0,25 milímetros.
III - Os dados obtidos, embora necessários, não são suficientes para a avaliação solicitada.
IV - O sentido de giro é horário.
Agora escolha entre as alternativas, a seguir, qual é a CORRETA:
Escolha uma:
a.
Apenas a afirmativa IV está correta.
b.
Apenas as alternativas I, II e IV estão corretas.
c.
Apenas as alternativas II e III estão corretas.
d.
Apenas a afirmativa I está correta.
e.
Apenas as alternativas II e IV estão corretas. Incorreto

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede e o conteúdo que a gente vai usar. Temos uma viga AB com uma extremidade engastada e a outra como balanço. Essa viga tem uma carga distribuída de 15 kN/m ao longo de todo o vão de 6 metros. As dimensões da seção transversal são 20 cm por 40 cm e o módulo de elasticidade do material é E = 180 GPa. Vamos precisar usar o método do trabalho virtual para calcular o deslocamento e a inclinação na ponta da viga (ponto B). Além disso, vamos analisar quatro afirmações para ver quais estão corretas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento de inércia (I) da seção transversal da viga. O momento de inércia é uma medida de como a área da seção está distribuída em relação ao eixo neutro, e é essencial para calcular deformações em vigas.
Para uma seção retangular, o momento de inércia em relação ao eixo neutro (y) é dado por:
I = b cdot h^312
Onde:
  • $ b $ = largura da seção = 20 cm = 0,2 m
  • $ h $ = altura da seção = 40 cm = 0,4 m
Então,
b

Passo 3

Agora, vamos calcular a inclinação (θ) e o deslocamento (δ) na ponta da viga usando o método do trabalho virtual. Para uma viga em balanço com carga distribuída, as fórmulas são:
Inclinação na ponta (θ):
theta = q cdot L^22 cdot E cdot I
Deslocamento na ponta (δ):
de
Onde:
  • $ q $ = carga distribuída = 15 kN/m = 15.000 N/m
  • $ L $ = comprimento da viga = 6,0 m
  • $ E $ = módulo de elasticidade = 180 GPa = 180.000 MPa = 180.000 N/mm² (vamos manter em N/m² para consistência)
  • $ I $ = momento de inércia = 0,0010667 m⁴

Passo 4

Vamos calcular a inclinação primeiro:
theta = 15.000 cdot (6,0)^22 cdot 180 cdot 10^9 cdot 0,0010667
Calculando passo a passo:
  1. $ L^2 = 6,0^2 = 36 , m^2 $
  2. Numerador: $ 15.000 \cdot 36 = 540.000 $
  3. Denominador: $ 2 \cdot 180 \cdot 10^9 \cdot 0,0010667 = 2 \cdot 180 \cdot 10^9 \cdot 0,0010667 = 384.006 \cdot 10^6 $
  4. Então,
L^2 = 6,0^2 = 36 , m^2

Passo 5

Agora, vamos calcular o deslocamento na ponta:
de
Calculando passo a passo:
  1. $ L^3 = 6,0^3 = 216 , m^3 $
  2. Numerador: $ 15.000 \cdot 216 = 3.240.000 $
  3. Denominador: $ 3 \cdot 180 \cdot 10^9 \cdot 0,0010667 = 3 \cdot 180 \cdot 10^9 \cdot 0,0010667 = 576.009 \cdot 10^6 $
  4. Então,
L^3 = 6,0^3 = 216 , m^3

Passo 6

Agora vamos analisar as afirmações:
I - A inclinação da ponta da viga vale 0,02 rad.
Calculamos $ \theta \approx 0,001406 , rad $. Então, essa afirmação está errada.
II - O deslocamento na extremidade B é igual a 0,25 milímetros.
Calculamos $ \delta \approx 5,625 , mm $. Portanto, essa afirmação está errada.
III - Os dados obtidos, embora necessários, não são suficientes para a avaliação solicitada.
Como conseguimos calcular a inclinação e o deslocamento com os dados fornecidos, essa afirmação está errada.
IV - O sentido de giro é horário.
Como a carga está puxando a viga para baixo no balanço, o giro na extremidade engastada seria no sentido horário. Essa afirmação está correta.

Resposta

a. Apenas a afirmativa IV está correta.

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