Determine o vetor v, ortogonal ao eixo 0y, v.v1= 8 e v.v2= -3, sendo v1= (3,1,-2) e v2= (-1,1,1).

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que encontrar um vetor v que seja ortogonal ao eixo y (ou seja, ao vetor (0, 1, 0)), e que satisfaça as condições de produto escalar com dois outros vetores: vv₁ = 8 e vv₂ = -3. Os vetores fornecidos são v₁ = (3, 1, -2) e v₂ = (-1, 1, 1). Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de álgebra vetorial, especialmente sobre ortogonalidade e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa o vetor v ser ortogonal ao eixo y. O eixo y é representado pelo vetor (0, 1, 0). Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Então, temos:
v cdot (0, 1, 0) = 0
Supondo que v = (x, y, z), isso nos dá:
0 cdot x + 1 cdot y + 0 cdot z = y = 0
Portanto, o componente y do vetor v é zero, ou seja, v = (x, 0, z).

Passo 3

Agora, vamos usar as condições de produto escalar com v₁ e v₂. Sabemos que:
v cdot v₁ = 8 e v cdot v₂ = -3
Substituindo v = (x, 0, z):
Para v₁ = (3, 1, -2):
3x + 1 cdot 0 + (-2)z = 8 Rightarrow 3x - 2z = 8 (Equação 1) çã
Para v₂ = (-1, 1, 1):
-1x + 1 cdot 0 + 1z = -3 Rightarrow -x + z = -3 (Equação 2) çã

Passo 4

Agora, vamos resolver o sistema de equações formado pelas Equações 1 e 2:
Equação 2: -x + z = -3 pode ser rearranjada para z = x - 3.
Substituindo z = x - 3 na Equação 1:
3x - 2(x - 3) = 8 3x - 2x + 6 = 8 x + 6 = 8 x = 2
Agora, substituindo x = 2 na expressão para z:
z = 2 - 3 = -1

Resposta

O vetor v que satisfaz todas as condições é v = (2, 0, -1).

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