Determine o vetor v, ortogonal ao eixo 0y, v.v1= 8 e v.v2= -3, sendo v1= (3,1,-2) e v2= (-1,1,1).
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que encontrar um vetor v que seja ortogonal ao eixo y (ou seja, ao vetor (0, 1, 0)), e que satisfaça as condições de produto escalar com dois outros vetores: v ⋅ v₁ = 8 e v ⋅ v₂ = -3. Os vetores fornecidos são v₁ = (3, 1, -2) e v₂ = (-1, 1, 1). Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de álgebra vetorial, especialmente sobre ortogonalidade e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa o vetor v ser ortogonal ao eixo y. O eixo y é representado pelo vetor (0, 1, 0). Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Então, temos:
Supondo que v = (x, y, z), isso nos dá:
Portanto, o componente y do vetor v é zero, ou seja, v = (x, 0, z).
Passo 3
Agora, vamos usar as condições de produto escalar com v₁ e v₂. Sabemos que:
Substituindo v = (x, 0, z):
Para v₁ = (3, 1, -2):
Para v₂ = (-1, 1, 1):
Passo 4
Agora, vamos resolver o sistema de equações formado pelas Equações 1 e 2:
Equação 2:
pode ser rearranjada para
.
Substituindo
na Equação 1:
Agora, substituindo
na expressão para
:
Resposta
O vetor v que satisfaz todas as condições é v = (2, 0, -1).