Considere uma vila isolada com uma população total de 1000 habitantes. Um vírus altamente contagioso começa a se espalhar entre os moradores. No dia 0 , há exatamente 3 pessoas infectadas, e o restante da população é completamente suscetível. Ninguém está imune ou recuperado nesse momento.
Sabendo que:
- Cada pessoa infectada transmite o vírus, em média, para 2 outras pessoas por dia.
- A doença tem duração de 3 dias, após os quais o indivíduo infectado se recupera e não transmite mais o vírus.
- A população total é constante: não há nascimentos, mortes ou migração.
- O processo é analisado em dias discretos (tempo discreto).
Obtenha um modelo que responda às seguintes alternativas:
(a) Monte uma tabela com a evolução diária das quantidades de indivíduos suscetíveis
, infectados
e recuperados
nos primeiros dias da epidemia.
(b) Determine em qual dia ocorre o pico da epidemia, ou seja, o dia com o maior número de infectados ativos.
(c) Calcule o número total de pessoas que serão infectadas ao longo de toda a epidemia.
(d) Estime o tempo total de duração da epidemia, até que todos os infectados estejam recuperados.
Observação: Considere que, a partir do momento em que não há mais pessoas suscetíveis, o número de novos infectados se torna zero.
(a) Monte uma tabela com a evolução diária das quantidades de indivíduos suscetíveis
(b) Determine em qual dia ocorre o pico da epidemia, ou seja, o dia com o maior número de infectados ativos.
(c) Calcule o número total de pessoas que serão infectadas ao longo de toda a epidemia.
(d) Estime o tempo total de duração da epidemia, até que todos os infectados estejam recuperados.
Passo 1
O enunciado descreve um modelo SIR em tempo discreto para uma vila de
habitantes, com condições iniciais
Cada infectado transmite o vírus para, em média,
pessoas por dia, e permanece infeccioso durante
dias, depois dos quais se recupera e não transmite mais. Vamos usar as equações de diferença para acompanhar dia a dia as quantidades de suscetíveis
, infectados
e recuperados
.
Passo 2
Definimos
como o número de novas infecções no dia
, limitado pelo número de suscetíveis:
As recuperações no dia
são justamente as infecções ocorridas dia
(pois o período infeccioso é de 3 dias). Portanto, para
:
As atualizações são
Passo 3
Usando
e
para
, calculamos iterativamente de
até esgotar os infectados. Por exemplo:
- Dia 0:
. - Dia 1:
, , , e . - Dia 2:
, , , .
A partir do dia 3 as recuperações começam:, e assim por diante.
Passo 4
Segue a tabela de
,
e
de
a
:
dia
|
|
|
|
---|---|---|---|
0 | 997 | 3 | 0 |
1 | 991 | 9 | 0 |
2 | 973 | 27 | 0 |
3 | 919 | 78 | 3 |
4 | 763 | 228 | 9 |
5 | 307 | 666 | 27 |
6 | 0 | 919 | 81 |
7 | 0 | 763 | 237 |
8 | 0 | 307 | 693 |
9 | 0 | 0 | 1000 |
Passo 5
O pico da epidemia é o dia em que
é máximo. Da tabela,
ocorre em
.
Passo 6
O número total de pessoas infectadas ao longo de toda a epidemia é igual ao total de recuperados no final, que é
.
Passo 7
A epidemia termina no primeiro dia em que não há mais infectados ativos. Isso acontece em
, pois
. Logo, a duração total é de 9 dias.
Resposta
(a) Evolução diária de
,
e
nos dias
a
:
dia
|
|
|
|
---|---|---|---|
0 | 997 | 3 | 0 |
1 | 991 | 9 | 0 |
2 | 973 | 27 | 0 |
3 | 919 | 78 | 3 |
4 | 763 | 228 | 9 |
5 | 307 | 666 | 27 |
6 | 0 | 919 | 81 |
7 | 0 | 763 | 237 |
8 | 0 | 307 | 693 |
9 | 0 | 0 | 1000 |
(b) O pico da epidemia ocorre no dia 6.
(c) Total de pessoas infectadas: 1000.
(d) Duração total da epidemia: 9 dias.
(c) Total de pessoas infectadas: 1000.
(d) Duração total da epidemia: 9 dias.