Considere uma vila isolada com uma população total de 1000 habitantes. Um vírus altamente contagioso começa a se espalhar entre os moradores. No dia 0 , há exatamente 3 pessoas infectadas, e o restante da população é completamente suscetível. Ninguém está imune ou recuperado nesse momento.
Sabendo que:
  • Cada pessoa infectada transmite o vírus, em média, para 2 outras pessoas por dia.
  • A doença tem duração de 3 dias, após os quais o indivíduo infectado se recupera e não transmite mais o vírus.
  • A população total é constante: não há nascimentos, mortes ou migração.
  • O processo é analisado em dias discretos (tempo discreto).
Obtenha um modelo que responda às seguintes alternativas:
(a) Monte uma tabela com a evolução diária das quantidades de indivíduos suscetíveis \left(S_{n}\right), infectados \left(I_{n}\right) e recuperados \left(R_{n}\right) nos primeiros dias da epidemia.
(b) Determine em qual dia ocorre o pico da epidemia, ou seja, o dia com o maior número de infectados ativos.
(c) Calcule o número total de pessoas que serão infectadas ao longo de toda a epidemia.
(d) Estime o tempo total de duração da epidemia, até que todos os infectados estejam recuperados.
Observação: Considere que, a partir do momento em que não há mais pessoas suscetíveis, o número de novos infectados se torna zero.

Passo 1

O enunciado descreve um modelo SIR em tempo discreto para uma vila de N=1000 habitantes, com condições iniciais
S_0 = 997,\quad I_0 = 3,\quad R_0 = 0
Cada infectado transmite o vírus para, em média, \beta=2 pessoas por dia, e permanece infeccioso durante d=3 dias, depois dos quais se recupera e não transmite mais. Vamos usar as equações de diferença para acompanhar dia a dia as quantidades de suscetíveis (S_n), infectados (I_n) e recuperados (R_n).

Passo 2

Definimos J_n como o número de novas infecções no dia n, limitado pelo número de suscetíveis:
J_n = \min\bigl(S_n,\;\beta\,I_n\bigr).
As recuperações no dia n são justamente as infecções ocorridas dia n-3 (pois o período infeccioso é de 3 dias). Portanto, para n\ge3:
\text{rec}_n = J_{n-3}.
As atualizações são
S_{n+1} = S_n - J_n,
I_{n+1} = I_n + J_n - \text{rec}_{n+1},
R_{n+1} = R_n + \text{rec}_{n+1}.

Passo 3

Usando J_n = \min(S_n,2I_n) e \text{rec}_n=0 para n<3, calculamos iterativamente de n=0 até esgotar os infectados. Por exemplo:
  • Dia 0: J_0=\min(997,2\cdot3)=6.
  • Dia 1: S_1=997-6=991, I_1=3+6=9, R_1=0, e J_1=\min(991,2\cdot9)=18.
  • Dia 2: S_2=991-18=973, I_2=9+18=27, R_2=0, J_2=\min(973,2\cdot27)=54.
    A partir do dia 3 as recuperações começam: \text{rec}_3=J_0=6, e assim por diante.

Passo 4

Segue a tabela de S_n, I_n e R_n de n=0 a n=9:
dia n S_n I_n R_n
0 997 3 0
1 991 9 0
2 973 27 0
3 919 78 3
4 763 228 9
5 307 666 27
6 0 919 81
7 0 763 237
8 0 307 693
9 0 0 1000

Passo 5

O pico da epidemia é o dia em que I_n é máximo. Da tabela, \max I_n=919 ocorre em n=6.

Passo 6

O número total de pessoas infectadas ao longo de toda a epidemia é igual ao total de recuperados no final, que é R_{\text{final}}=1000.

Passo 7

A epidemia termina no primeiro dia em que não há mais infectados ativos. Isso acontece em n=9, pois I_9=0. Logo, a duração total é de 9 dias.

Resposta

(a) Evolução diária de S_n, I_n e R_n nos dias 0 a 9:
dia n S_n I_n R_n
0 997 3 0
1 991 9 0
2 973 27 0
3 919 78 3
4 763 228 9
5 307 666 27
6 0 919 81
7 0 763 237
8 0 307 693
9 0 0 1000
(b) O pico da epidemia ocorre no dia 6.
(c) Total de pessoas infectadas: 1000.
(d) Duração total da epidemia: 9 dias.

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