Considere w=barz / z. Sem efetuar contas, explique por que |w|=1.

Passo 1

Neste exercício, temos a expressão w=barz/z e queremos mostrar que |w|=1. O conteúdo envolvido é de números complexos — módulo e conjugado — e vamos usar propriedades do módulo para quocientes.

Passo 2

Sabemos que |barz|=|z| para todo zneq0, pois o conjugado reflete o ponto no eixo real sem mudar sua distância à origem. Além disso, a propriedade do módulo de um quociente diz que l|a/br|=|a|/|b| para bneq0. Assim, temos:
|w|=|barzz|=|barz||z|=|z||z|=1

Passo 3

Geometricamente, se z=re^itheta com r>0, então barz=re^-itheta e
w=barzz=e^-2itheta,
o que posiciona w na circunferência de raio 1 no plano complexo, confirmando que |w|=1.

Resposta

|w| = 1

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