Considere . Sem efetuar contas, explique por que .
Passo 1
Neste exercício, temos a expressão e queremos mostrar que . O conteúdo envolvido é de números complexos — módulo e conjugado — e vamos usar propriedades do módulo para quocientes.
Passo 2
Sabemos que para todo , pois o conjugado reflete o ponto no eixo real sem mudar sua distância à origem. Além disso, a propriedade do módulo de um quociente diz que para bneq0. Assim, temos:
|w|=|barzz|=|barz||z|=|z||z|=1
Passo 3
Geometricamente, se z=re^itheta com r>0, então barz=re^-itheta e
w=barzz=e^-2itheta,
o que posiciona w na circunferência de raio 1 no plano complexo, confirmando que |w|=1.