Exercício 1 (Regra da cadeia) Calcule:
integral 2 r d r(1-r)^7

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 2r,dr(1-r)^7. O conteúdo é aplicação da regra da cadeia em integrais, e vamos usar uma substituição do tipo u=1-r, além da regra da potência para integrar termos do tipo u^n.

Passo 2

Fazendo a substituição u = 1 - r. Então du = -dr e r = 1 - u. Dessa forma, o diferencial dr = -du, e o numerador 2r,dr vira -2(1-u),du.
Reescrevendo a integral em função de u:
integral 2r,dr(1-r)^7 = integral -2(1-u)u^7,du = integral l(-2u^-7 + 2u^-6r),du

Passo 3

Agora integramos termo a termo usando a regra da potência integral u^n,du = tfracu^n+1n+1 (para nneq -1):
  • integral -2u^-7,du = -2 cdot u^-6-6 = 13u^-6;
  • integral 2u^-6,du = 2 cdot u^-5-5 = -25u^-5.
    Somando, obtemos:
F(u) = 13u^-6 - 25u^-5 + C

Passo 4

Volta para a variável r substituindo u=1-r. Assim,
F(r) = 13(1-r)^-6 - 25(1-r)^-5 + C
é uma antiderivada da função dada.

Resposta

F(r) = 13(1-r)^-6 - 25(1-r)^-5 + C.

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