Suponha que
e
sejam três pontos distintos no plano complexo e que
seja um número real. Interprete
geometricamente.
Passo 1
O enunciado pede para interpretar geometricamente a igualdade
, onde
são três pontos distintos no plano complexo e
é real. O conteúdo envolve ver complexos como vetores no plano, entender paralelismo, alongamento e possível inversão de sentido.
Passo 2
No plano complexo, o vetor que vai de
a
é dado por
, e o vetor de
a
é
. A equação
diz exatamente que o segundo vetor é um múltiplo real do primeiro.
Passo 3
Quando você multiplica um vetor por um número real
, o resultado é um vetor colinear ao original, de comprimento
vezes o comprimento inicial e, se
, com sentido invertido. Logo,
e
são paralelos.
Daí concluímos que os pontos são colineares. Além disso,
– o comprimento satisfaz ;
– se ,
está no prolongamento de
na mesma direção de
;
– se ,
fica no prolongamento de
em sentido contrário.
Em outras palavras, é obtido a partir de
por uma homotetia de razão
aplicada ao vetor que vai de
a
.
Daí concluímos que os pontos
– o comprimento satisfaz
– se
– se
Em outras palavras,
Resposta
Os três pontos são colineares, pois o vetor de
a
é um múltiplo real do vetor de
a
. O segmento
tem comprimento
vezes o de
, mantendo o mesmo sentido se
e invertendo-o se
.