Suponha que z1, z2 e z3 sejam três pontos distintos no plano complexo e que k seja um número real. Interprete geometricamente.

Passo 1

O enunciado pede para interpretar geometricamente a igualdade z3-z2=k,(z2-z1), onde z1,z2,z3 são três pontos distintos no plano complexo e k é real. O conteúdo envolve ver complexos como vetores no plano, entender paralelismo, alongamento e possível inversão de sentido.

Passo 2

No plano complexo, o vetor que vai de z1 a z2 é dado por z2-z1, e o vetor de z2 a z3 é z3-z2. A equação z3-z2=k,(z2-z1) diz exatamente que o segundo vetor é um múltiplo real do primeiro.

Passo 3

Quando você multiplica um vetor por um número real k, o resultado é um vetor colinear ao original, de comprimento |k| vezes o comprimento inicial e, se k<0, com sentido invertido. Logo, z3-z2 e z2-z1 são paralelos.
Daí concluímos que os pontos z1,z2,z3 são colineares. Além disso,
– o comprimento satisfaz |z3-z2|=|k|,|z2-z1|;
– se k>0, z3 está no prolongamento de z2 na mesma direção de z1to z2;
– se k<0, z3 fica no prolongamento de z2 em sentido contrário.
Em outras palavras, z3 é obtido a partir de z2 por uma homotetia de razão k aplicada ao vetor que vai de z1 a z2.

Resposta

Os três pontos são colineares, pois o vetor de z2 a z3 é um múltiplo real do vetor de z1 a z2. O segmento Z2Z3 tem comprimento |k| vezes o de Z1Z2, mantendo o mesmo sentido se k>0 e invertendo-o se k<0.

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