Determine o subespaço gerado pelos seguintes conjuntos:
(a) A=\left\{-1-x, 1+3 x^{2}, 2 x-4 x^{2}\right\},

Passo 1

O enunciado dá o conjunto \displaystyle A=\{-1 - x,\;1+3x^2,\;2x-4x^2\}
e pede o subespaço gerado por A. Estamos no espaço vetorial \mathbb{P}_2 dos polinômios de grau <=2, cuja dimensão é 3. Para achar \mathrm{Span}(A), vamos verificar se esses três vetores são linearmente independentes e, em caso afirmativo, concluir que geram todo \mathbb{P}_2.

Passo 2

Escrevemos cada polinômio em coordenadas na base \{1,x,x^2\}:
v_1 = -1 - x \longmapsto \begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_2 = 1 + 3x^2 \longmapsto \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix},\quad v_3 = 2x - 4x^2 \longmapsto \begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ -4\end{pmatrix}.

Passo 3

Para testar independência, suponha
c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3 = 0.
Isso gera o sistema em (c_1,c_2,c_3)\): \[\begin{cases} -\,c_1 + c_2 = 0,\\\\ -\,c_1 + 2c_3 = 0,\\\\ 3c_2 - 4c_3 = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem c_2 = c_1\]. Da segunda, \(2c_3 = c_1 ou c_3 = c_1/2. Substituindo na terceira:
3c_1 - 4\bigl(c_1/2\bigr)=3c_1 -2c_1 = c_1 = 0.
Logo c_1=c_2=c_3=0, provando que v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes.

Passo 4

Como \mathbb{P}_2 tem dimensão 3 e encontramos 3 vetores independentes em \mathbb{P}_2, segue que
\mathrm{Span}(A)=\mathbb{P}_2,
isto é, todo polinômio de grau até 2 pode ser escrito como combinação linear de -1-x, 1+3x^2 e 2x-4x^2.

Resposta

O subespaço gerado por A é \mathbb{P}_2, o espaço de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2.

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