Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um conjunto W dentro de um espaço de 4 dimensões, . Queremos descobrir uma base para W e saber qual é a dimensão desse conjunto. Para isso, a gente vai precisar mexer com conceitos de espacos vetoriais, sistemas lineares e bases. Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é W. Ele é definido por duas equações:
Essas equações nos mostram as relações entre as coordenadas e .
Passo 3
Vamos reescrever as equações para expressar algumas variáveis em função das outras. Por exemplo, da primeira equação:
pode ser rearranjada para:
E a segunda equação já nos dá .
Passo 4
Agora, podemos expressar o vetor em termos das variáveis livres, que são e :
Então, o vetor fica:
(x, y, z, t) = (y - t, y, t, t)
Passo 5
Vamos fatorar as variáveis livres y e t :
(y - t, y, t, t) = y cdot (1, 1, 0, 0) + t cdot (-1, 0, 1, 1)
Isso mostra que qualquer vetor em W pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores (1, 1, 0, 0) e (-1, 0, 1, 1) .
Passo 6
Para confirmar que esses vetores formam uma base, precisamos verificar se eles são linearmente independentes. Isso significa que a única solução para a equação [a(1, 1, 0, 0) + b(-1, 0, 1, 1) = (0, 0, 0, 0)) é e .
Resolvendo:
A única solução é mesmo , então os vetores são linearmente independentes.
Passo 7
Como temos dois vetores que são linearmente independentes e geram W, eles formam uma base para W. A dimensão de W é o número de vetores na base, que nesse caso é 2.
Resposta
Uma base de W é , (1,,1,,0,,0), (-1,,0,,1,,1) , e sua dimensão é 2.