Considere W=(x, y, z, t) ; x-y+t=0, z=t in R^4.
Determine uma base de W e sua dimensão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um conjunto W dentro de um espaço de 4 dimensões, R^4 . Queremos descobrir uma base para W e saber qual é a dimensão desse conjunto. Para isso, a gente vai precisar mexer com conceitos de espacos vetoriais, sistemas lineares e bases. Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é W. Ele é definido por duas equações:
  1. x - y + t = 0
  2. z = t
Essas equações nos mostram as relações entre as coordenadas x, y, z e t .

Passo 3

Vamos reescrever as equações para expressar algumas variáveis em função das outras. Por exemplo, da primeira equação:
x - y + t = 0 pode ser rearranjada para:
x = y - t
E a segunda equação já nos dá z = t .

Passo 4

Agora, podemos expressar o vetor (x, y, z, t) em termos das variáveis livres, que são y e t :
x = y - t y = y z = t t = t
Então, o vetor fica:
(x, y, z, t) = (y - t, y, t, t)

Passo 5

Vamos fatorar as variáveis livres y e t :
(y - t, y, t, t) = y cdot (1, 1, 0, 0) + t cdot (-1, 0, 1, 1)
Isso mostra que qualquer vetor em W pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores (1, 1, 0, 0) e (-1, 0, 1, 1) .

Passo 6

Para confirmar que esses vetores formam uma base, precisamos verificar se eles são linearmente independentes. Isso significa que a única solução para a equação [a(1, 1, 0, 0) + b(-1, 0, 1, 1) = (0, 0, 0, 0)) é e .
Resolvendo:
A única solução é mesmo , então os vetores são linearmente independentes.

Passo 7

Como temos dois vetores que são linearmente independentes e geram W, eles formam uma base para W. A dimensão de W é o número de vetores na base, que nesse caso é 2.

Resposta

Uma base de W é , (1,,1,,0,,0), (-1,,0,,1,,1) , e sua dimensão é 2.

Exercícios relacionados