Seja T: R^3 R^3 o operador linear dado por
T(x, y, z)=(3 x,-2 x+2 y, x)
Verifique que o operador T é diagonalizável e determine uma matriz diagonal D e uma matriz P tais que A=P D P^-1.

Passo 1

O operador linear TcolonR^3toR^3 é dado por
T(x,y,z) = (3x,,-2x+2y,,x)
Vamos escrever sua matriz na base canônica, calcular o polinômio característico para achar os autovalores, em seguida determinar os autovetores e montar as matrizes P e D para a diagonalização.

Passo 2

A matriz de T na base e1,e2,e3 é
A = l[,T(e1);;T(e2);;T(e3)r] = 3 & 0 & 0 -2 & 2 & 0 1 & 0 & 0 ,
pois
;T(e1)=(3,-2,1),;T(e2)=(0,2,0),;T(e3)=(0,0,0)

Passo 3

O polinômio característico é
det(A - lambda I) = det 3-lambda & 0 & 0 -2 & 2-lambda & 0 1 & 0 & -lambda
Expandindo pela terceira coluna (ou notando que as únicas entradas não nulas fora da diagonal estão na coluna 1), encontra-se
det(A - lambda I) = (-lambda),(3-lambda),(2-lambda)

Passo 4

As raízes do polinômio característico são
lambda1 = 3, lambda2 = 2, lambda3 = 0
Como são três autovalores distintos, T é diagonalizável.

Passo 5

Para cada autovalor, resolvemos [(A-\lambda I)v=0):
  1. :
    . Tomando , um autovetor é
  2. :
    á
    então é livre. Tomando , um autovetor é
  3. :
    Tomando , um autovetor é

Passo 6

Colocando os autovetores em colunas formamos
P = 3 & 0 & 0 -6 & 1 & 0 1 & 0 & 1 ,
e a matriz diagonal com os autovalores na ordem correspondente é
D = 3 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0
Assim temos a diagonalização
A = P,D,P^-1

Resposta

Dado
A = 3 & 0 & 0 -2 & 2 & 0 1 & 0 & 0 ,
podemos escolher
P = 3 & 0 & 0 -6 & 1 & 0 1 & 0 & 1 , D = 3 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 ,
de modo que A = P,D,P^-1.

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