Seja: A é o último dígito da sua idade 2 e B o último dígito do seu ano de nascimento 3. Determine os autovalores da transformação linear T: R3 R3 dada por T(x, y, z)=(A x+z,-B y+z,-B z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores de uma transformação linear T: R^3 R^3 definida por T(x, y, z) = (A x + z, -B y + z, -B z) , onde A = 2 e B = 3 . Vamos precisar entender um pouco sobre matrizes e autovalores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear T como uma matriz. Cada componente da função T(x, y, z) nos dá uma linha da matriz. Com A = 2 e B = 3 , a matriz fica assim:
T = 2 & 0 & 1 0 & -3 & 1 0 & 0 & -3

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores dessa matriz, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
det(T - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.

Passo 4

Subtraímos lambda da diagonal principal da matriz T :
T - lambda I = 2 - lambda & 0 & 1 0 & -3 - lambda & 1 0 & 0 & -3 - lambda

Passo 5

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(T - lambda I) = (2 - lambda) cdot (-3 - lambda) cdot (-3 - lambda)
Isso porque a matriz é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal são zero), e o determinante é apenas o produto dos elementos da diagonal.

Passo 6

Igualamos o determinante a zero para encontrar os valores de lambda :
(2 - lambda) cdot (-3 - lambda)^2 = 0

Passo 7

Resolvendo a equação:
  1. 2 - lambda = 0 => lambda = 2
  2. -3 - lambda = 0 => lambda = -3 (com multiplicidade 2)

Resposta

Os autovalores da transformação linear são lambda = 2 e lambda = -3 (este último com multiplicidade 2).

Exercícios relacionados