Determine os autovalores e uma base para os auto espaços correspondentes (autovetores associados). Verifique se o operador é diagonalizável e, caso seja, determine sua representação diagonal, ou seja, a matriz diagonal que representa o operador e a base de autovetores correspondentes (a matriz ).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear definido por
O assunto aqui é autovalores e autovetores de uma transformação linear, além de verificar se o operador é diagonalizável. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar os autovalores resolvendo o polinômio característico e depois achar os autovetores correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz que representa o operador . Observando a transformação, podemos escrever a matriz de assim:
Essa matriz nos ajuda a trabalhar com vetores e encontrar os autovalores e autovetores mais facilmente.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores de A . Para isso, precisamos resolver o polinômio característico:
det(A - lambda I) = 0
onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.
Podemos escolher v2 e v3 como parâmetros livres. Vamos definir:
v2 = s, v3 = t
Então:
v1 = s - t
Logo, o autovetor geral é:
v = (s - t, , s, , t) = s(1, 1, 0) + t(-1, 0, 1)
Portanto, uma base para o auto espaço é formada pelos vetores (1, 1, 0) e (-1, 0, 1) .
Passo 5
Agora, vamos verificar se o operador T é diagonalizável. Para isso, precisamos que o número de autovalores distintos seja igual à dimensão do espaço, ou seja, que tenhamos 3 autovalores reais e linearmente independentes.
No nosso caso, encontramos apenas 1 autovalor real ( lambda = 4 ) com multiplicidade 1, e os outros dois autovalores são complexos. Portanto, T não é diagonalizável sobre R^3 .
Resposta
Os autovalores de T são lambda = 4 e lambda = 1 pm 3i . Uma base para o auto espaço correspondente a lambda = 4 é formada pelos vetores (1, 1, 0) e (-1, 0, 1) . O operador T não é diagonalizável sobre R^3 .