Seja T: R^3 R^3 o operador linear dado por
T(x, y, z)=(x+3 y-3 z, 4 y,-3 x+3 y+z)
Determine os autovalores e uma base para os auto espaços correspondentes (autovetores associados). Verifique se o operador T é diagonalizável e, caso seja, determine sua representação diagonal, ou seja, a matriz diagonal D que representa o operador T e a base de autovetores correspondentes (a matriz P ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear T: R^3 R^3 definido por
T(x, y, z) = (x + 3y - 3z, , 4y, , -3x + 3y + z)
O assunto aqui é autovalores e autovetores de uma transformação linear, além de verificar se o operador é diagonalizável. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar os autovalores resolvendo o polinômio característico e depois achar os autovetores correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz que representa o operador T . Observando a transformação, podemos escrever a matriz A de T assim:
A = 1 & 3 & -3 0 & 4 & 0 -3 & 3 & 1
Essa matriz nos ajuda a trabalhar com vetores e encontrar os autovalores e autovetores mais facilmente.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores de A . Para isso, precisamos resolver o polinômio característico:
det(A - lambda I) = 0
onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.
Vamos montar A - lambda I :
A - lambda I = 1 - lambda & 3 & -3 0 & 4 - lambda & 0 -3 & 3 & 1 - lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)[(4 - lambda)(1 - lambda) - 0 cdot 3] - 3 [0 cdot (1 - lambda) - (-3) cdot 0] + (-3)[0 cdot 3 - (4 - lambda)(-3)]
Simplificando:
= (1 - lambda)(4 - lambda)(1 - lambda) + 0 + 9(4 - lambda)
= (1 - lambda)^2 (4 - lambda) + 9(4 - lambda)
= (4 - lambda)[(1 - lambda)^2 + 9]
= 0
Então, os autovalores são as soluções de 4 - lambda = 0 e (1 - lambda)^2 + 9 = 0 .
Resolvendo:
lambda1 = 4
(1 - lambda)^2 + 9 = 0 Rightarrow (1 - lambda)^2 = -9 Rightarrow 1 - lambda = pm 3i
lambda2 = 1 + 3i, lambda3 = 1 - 3i
Mas como estamos trabalhando com R^3 , apenas lambda = 4 é real. Os outros são complexos.

Passo 4

Como nossos autovalores complexos não são úteis para a diagonalização no espaço real R^3 , vamos focar apenas no autovalor real lambda = 4 .
Vamos encontrar o auto espaço correspondente a lambda = 4 . Precisamos resolver:
(A - 4I)v = 0
Onde v = (v1, v2, v3) é o autovetor.
Montando A - 4I :
A - 4I = 1 - 4 & 3 & -3 0 & 4 - 4 & 0 -3 & 3 & 1 - 4 = -3 & 3 & -3 0 & 0 & 0 -3 & 3 & -3
A equação (A - 4I)v = 0 se traduz em:
-3v1 + 3v2 - 3v3 = 0
0v1 + 0v2 + 0v3 = 0
-3v1 + 3v2 - 3v3 = 0
Então, temos apenas uma equação independente:
-3v1 + 3v2 - 3v3 = 0 Rightarrow v1 = v2 - v3
Podemos escolher v2 e v3 como parâmetros livres. Vamos definir:
v2 = s, v3 = t
Então:
v1 = s - t
Logo, o autovetor geral é:
v = (s - t, , s, , t) = s(1, 1, 0) + t(-1, 0, 1)
Portanto, uma base para o auto espaço é formada pelos vetores (1, 1, 0) e (-1, 0, 1) .

Passo 5

Agora, vamos verificar se o operador T é diagonalizável. Para isso, precisamos que o número de autovalores distintos seja igual à dimensão do espaço, ou seja, que tenhamos 3 autovalores reais e linearmente independentes.
No nosso caso, encontramos apenas 1 autovalor real ( lambda = 4 ) com multiplicidade 1, e os outros dois autovalores são complexos. Portanto, T não é diagonalizável sobre R^3 .

Resposta

Os autovalores de T são lambda = 4 e lambda = 1 pm 3i . Uma base para o auto espaço correspondente a lambda = 4 é formada pelos vetores (1, 1, 0) e (-1, 0, 1) . O operador T não é diagonalizável sobre R^3 .

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