Considere X_{1}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória da distribuição da v. a. X \sim N\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right) e Y_{1}, \ldots, Y_{m} uma amostra aleatória da distribuição da v. a. Y \sim N\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right), em que X e Y são independentes. Se as variâncias populacionais forem conhecidas então a distribuição amostral é dada por
\bar{X}-\bar{Y} \sim N\left(\mu_{1}-\mu_{2}, \frac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{m}\right) .
Construa o intervalo de confiança para \theta=\mu_{1}-\mu_{2}, considere a quantidade pivotal
Q(\mathbf{X}, \mathbf{Y} ; \theta)=\frac{\bar{X}-\bar{Y}-\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right)}{\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{m}}} \sim N(0,1)

Passo 1

O enunciado apresenta duas amostras independentes \;X_{1},\dots,X_{n}\sim N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2}); e \;Y_{1},\dots,Y_{m}\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2}); com variâncias populacionais conhecidas.
Queremos um intervalo de confiança de nível 1-\alpha para \theta=\mu_{1}-\mu_{2}. Para isso usamos a pivô
Q = \frac{\bar X - \bar Y - (\mu_{1}-\mu_{2})} {\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{m}}} \sim N(0,1).

Passo 2

Como Q\sim N(0,1), temos
P\Bigl(-z_{1-\frac{\alpha}{2}} < Q < z_{1-\frac{\alpha}{2}}\Bigr) = 1-\alpha,
onde z_{1-\frac{\alpha}{2}} é o quantil de ordem 1-\tfrac{\alpha}{2} da distribuição normal padrão.

Passo 3

Substituindo a definição de Q na desigualdade e isolando \theta=\mu_{1}-\mu_{2}, obtemos
P\Bigl( -\,z_{1-\frac{\alpha}{2}} < \frac{\bar X - \bar Y - \theta} {\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{m}}} < z_{1-\frac{\alpha}{2}} \Bigr) = 1-\alpha
\Longleftrightarrow P\Bigl( \bar X - \bar Y - z_{1-\frac{\alpha}{2}}\, \sqrt{\tfrac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\tfrac{\sigma_{2}^{2}}{m}} < \theta < \bar X - \bar Y + z_{1-\frac{\alpha}{2}}\, \sqrt{\tfrac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\tfrac{\sigma_{2}^{2}}{m}} \Bigr) = 1-\alpha.

Resposta

O intervalo de confiança de nível 1-\alpha para \theta=\mu_{1}-\mu_{2} é
\Bigl[ (\bar X - \bar Y) - z_{1-\frac{\alpha}{2}}\, \sqrt{\tfrac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\tfrac{\sigma_{2}^{2}}{m}} \;,\; (\bar X - \bar Y) + z_{1-\frac{\alpha}{2}}\, \sqrt{\tfrac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\tfrac{\sigma_{2}^{2}}{m}} \Bigr].

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