Seja X_{1}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória da distribuição N\left(\mu, \sigma^{2}\right), com \mu desconhecido. Construa o Intervalo de Confiança para \sigma^{2}.
A quantidade pivotal Q\left(\mathbf{X} ; \sigma^{2}\right)=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{\sigma^{2}}=\frac{(n-1) S^{2}}{\sigma^{2}} \sim \chi_{n-1}^{2}

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória X_{1},\dots,X_{n} de uma N(\mu,\sigma^{2}) com \mu desconhecido e pede um intervalo de confiança de nível 1-\alpha para \sigma^{2}$. Vamos usar a quantidade pivotal
Q = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2}{\sigma^2} = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2_{\,n-1},
cuja distribuição não depende de \sigma^2.

Passo 2

Para obter o intervalo de confiança, escolhemos constantes c_1 e c_2 tais que
P\bigl(c_{1} \le Q \le c_{2}\bigr) = 1-\alpha.
Como Q\sim\chi^2_{\,n-1}, definimos
c_{1} = \chi^2_{\,n-1;\,\alpha/2},\quad c_{2} = \chi^2_{\,n-1;\,1-\alpha/2},
onde \chi^2_{k;p} é o quantil de ordem p da \chi^2 com k graus de liberdade. Então
P\Bigl(\chi^2_{\,n-1;\,\alpha/2} \le \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \le \chi^2_{\,n-1;\,1-\alpha/2}\Bigr) = 1-\alpha.

Passo 3

Agora isolamos \sigma^2 dentro da probabilidade. Como (n-1)S^2/\sigma^2 está no numerador, ao inverter a desigualdade obtemos
P\!\Bigl(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\,n-1;\,1-\alpha/2}} \;\le\;\sigma^2\;\le\; \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\,n-1;\,\alpha/2}}\Bigr) = 1-\alpha.

Passo 4

Portanto, um intervalo de confiança de nível 1-\alpha para \sigma^2 é
\Bigl[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\,n-1;\,1-\alpha/2}}\;,\; \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\,n-1;\,\alpha/2}} \Bigr].

Resposta

\boxed{ \Bigl[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\,n-1;\,1-\alpha/2}}\;,\; \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\,n-1;\,\alpha/2}} \Bigr] }

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