Seja X_{1}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória da distribuição N\left(\mu, \sigma^{2}\right), \operatorname{com} \sigma^{2} desconhecido e sejam \bar{X} e S^{2} a média e a variância amostrais. Construa o Intervalo de Confiança para \mu.
A quantidade pivotal Q(\mathbf{X} ; \mu)=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}} \sim t_{n-1}, \quad S=\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado considera uma amostra aleatória X_{1},\dots,X_{n} de uma distribuição normal N(\mu,\sigma^{2}) com \sigma^{2} desconhecido. Definimos a média amostral
\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_{i}
e a variância amostral
S^{2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(X_{i}-\bar{X}\bigr)^{2}.
O objetivo é construir um intervalo de confiança de nível 1-\alpha para \mu, usando a quantidade pivotal
Q(\mathbf{X};\mu) = \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}.

Passo 2

Sabemos que, para a distribuição t com n-1 graus de liberdade, valem as probabilidades simétricas
P\bigl(-t_{1-\frac{\alpha}{2},\,n-1}\le Q(\mathbf{X};\mu)\le t_{1-\tfrac{\alpha}{2},\,n-1}\bigr) = 1-\alpha,
onde t_{1-\frac{\alpha}{2},\,n-1} é o quantil superior de ordem 1-\tfrac{\alpha}{2} da t_{n-1}.

Passo 3

Substituindo Q(\mathbf{X};\mu) na desigualdade acima, obtemos
P\!\Bigl(-t_{1-\tfrac{\alpha}{2},\,n-1}\le \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\le t_{1-\tfrac{\alpha}{2},\,n-1}\Bigr) = 1-\alpha.
Multiplicando todos os termos por S/\sqrt{n} e reorganizando para \mu, resulta
P\!\Bigl(\bar{X}-t_{1-\tfrac{\alpha}{2},\,n-1}\,\frac{S}{\sqrt{n}}\le \mu \le \bar{X}+t_{1-\tfrac{\alpha}{2},\,n-1}\,\frac{S}{\sqrt{n}}\Bigr) = 1-\alpha.

Resposta

O intervalo de confiança de nível 1-\alpha para \mu é
\biggl[\;\bar{X}-t_{1-\tfrac{\alpha}{2},\,n-1}\,\frac{S}{\sqrt{n}}\;,\;\bar{X}+t_{1-\tfrac{\alpha}{2},\,n-1}\,\frac{S}{\sqrt{n}}\biggr].

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