Seja
(a) Verifique as condições de existência e unicidade.
(b) Encontre o intervalo de validade da solução.
(b) Encontre o intervalo de validade da solução.
Passo 1
O enunciado apresenta a EDO de primeira ordem
com condição inicial
. Vamos usar o Teorema de Picard–Lindelöf para verificar existência e unicidade e, em seguida, resolver por separação de variáveis para obter a solução e determinar seu intervalo de validade.
Passo 2
Definimos
Como
para todo
, a função
é contínua em
. Além disso,
é também contínua em
. Pelo Teorema de Picard–Lindelöf, existe uma única solução passa pela condição inicial
em algum intervalo em torno de
.
Passo 3
Para encontrar a solução, separamos variáveis:
Integrando ambos os lados:
Aplica-se
, obtendo
, logo
. Assim,
Passo 4
O coeficiente
nunca zera, então
e
permanecem contínuas para todo
. Não há singularidades na solução, de modo que ela se estende no maior intervalo possível, que é
.
Resposta
(a) Como
e
são contínuas em todo
, o Teorema de Picard–Lindelöf garante existência e unicidade da solução local (e, neste caso, global).
(b) O intervalo de validade da solução é .
(b) O intervalo de validade da solução é