Seja
y^{\prime}=\frac{y}{x^{2}+1}, \quad y(0)=3
(a) Verifique as condições de existência e unicidade.
(b) Encontre o intervalo de validade da solução.

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO de primeira ordem
y' = \frac{y}{x^2+1},
com condição inicial y(0)=3. Vamos usar o Teorema de Picard–Lindelöf para verificar existência e unicidade e, em seguida, resolver por separação de variáveis para obter a solução e determinar seu intervalo de validade.

Passo 2

Definimos
f(x,y) = \frac{y}{x^2+1}.
Como x^2+1>0 para todo x\in\mathbb{R}, a função f é contínua em \mathbb{R}\times\mathbb{R}. Além disso,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{1}{x^2+1}
é também contínua em \mathbb{R}\times\mathbb{R}. Pelo Teorema de Picard–Lindelöf, existe uma única solução passa pela condição inicial y(0)=3 em algum intervalo em torno de x=0.

Passo 3

Para encontrar a solução, separamos variáveis:
\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x^2+1}.
Integrando ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \frac{1}{x^2+1}\,dx \;\Longrightarrow\; \ln|y| = \arctan(x) + C.
Aplica-se y(0)=3, obtendo \ln|3| = 0 + C, logo C = \ln 3. Assim,
\ln|y| = \arctan(x) + \ln 3 \quad\Longrightarrow\quad y(x) = 3\,e^{\arctan(x)}.

Passo 4

O coeficiente x^2+1 nunca zera, então f e \partial f/\partial y permanecem contínuas para todo x\in\mathbb{R}. Não há singularidades na solução, de modo que ela se estende no maior intervalo possível, que é (-\infty,\infty).

Resposta

(a) Como f(x,y)=y/(x^2+1) e \partial f/\partial y=1/(x^2+1) são contínuas em todo \mathbb{R}\times\mathbb{R}, o Teorema de Picard–Lindelöf garante existência e unicidade da solução local (e, neste caso, global).
(b) O intervalo de validade da solução é (-\infty,\infty).

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