Considere que
seja dada implicitamente como uma função diferenciável das outras variáveis das equações. Encontre o valor das derivadas parciais indicadas quando as variáveis têm os valores dados.
Se
, ache
e
quando
.
Se
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
onde
é uma função diferenciável das outras variáveis. Pede-se encontrar as derivadas indicadas nos pontos
As quantidades pedidas são
avaliadas no ponto dado.
Passo 2
Ideia geral (ferramentas que usarei): para uma equação
com
dependente das outras variáveis, usa-se diferenciação implícita. Ao derivar em relação a uma variável (por exemplo
), aplica-se a regra da cadeia para termos que envolvem
: se um termo é
então
onde escrevi
. Sempre que aparecer
diferenciado em relação à variável independente, isso gera um fator
.
Passo 3
Cálculo de
. Derivo a equação em relação a
, mantendo
e
constantes e usando
:
Derivando termo a termo:
Reescrevendo, usando
e
, obtemos
Desenvolvendo:
Portanto
Passo 4
Avaliação de
no ponto dado. Peguei os valores do enunciado:
,
,
,
. Calculo as funções trigonométricas:
Também
e
. Assim
e
. Logo
Passo 5
Cálculo de
. Agora derivo a equação em relação a
, mantendo
e
constantes e usando
. Diferenciando:
No lado esquerdo aplico regra do produto/quotient simples (já que
depende de
só via
):
Como
, isso vira
O lado direito depende de
só via
, então
Igualando:
Agrupando os termos com
:
Logo
Passo 6
Avaliação de
no ponto. Usando os mesmos valores e as mesmas funções trigonométricas calculadas antes:
,
,
,
,
,
. O numerador tem fator
, então
Passo 7
Cálculo de
. Derivo a equação em relação a
, mantendo
e
constantes e com
. Diferenciando:
No lado direito uso produto/quotient (ou regra do quociente). É mais direto escrever
E
Portanto
Agrupando os termos com
:
Logo
Passo 8
Avaliação de
no ponto. Novamente uso os valores:
. Assim o numerador é zero e, desde que o denominador seja finito (ele é
nesse ponto), obtemos