Considere que y seja dada implicitamente como uma função diferenciável das outras variáveis das equações. Encontre o valor das derivadas parciais indicadas quando as variáveis têm os valores dados.
Se \frac{\operatorname{sen}(y-x)}{z^{2}}=\frac{\cos (x+y)}{w^{2}-3}, ache \frac{d y}{d x}, \quad \frac{d y}{d z} e \quad \frac{d y}{d w} quando x=\pi / 4, \quad y=\pi / 4, \quad z= 1, \quad w=-2.

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
\frac{\sin(y-x)}{z^{2}}=\frac{\cos(x+y)}{w^{2}-3},
onde y é uma função diferenciável das outras variáveis. Pede-se encontrar as derivadas indicadas nos pontos
x=\frac{\pi}{4},\qquad y=\frac{\pi}{4},\qquad z=1,\qquad w=-2.
As quantidades pedidas são
\frac{dy}{dx},\qquad \frac{dy}{dz},\qquad \frac{dy}{dw}
avaliadas no ponto dado.

Passo 2

Ideia geral (ferramentas que usarei): para uma equação F(x,y,z,w)=0 com y dependente das outras variáveis, usa-se diferenciação implícita. Ao derivar em relação a uma variável (por exemplo x), aplica-se a regra da cadeia para termos que envolvem y: se um termo é \sin(y-x) então
\frac{d}{dx}\sin(y-x)=\cos(y-x)\cdot\frac{d}{dx}(y-x)=\cos(y-x)\,(y_x-1),
onde escrevi y_x=\dfrac{dy}{dx}. Sempre que aparecer y diferenciado em relação à variável independente, isso gera um fator dy/d(\text{essa variável})á.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{dy}{dx}. Derivo a equação em relação a x, mantendo z e w constantes e usando y=y(x):
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\sin(y-x)}{z^{2}}\right)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\cos(x+y)}{w^{2}-3}\right).
Derivando termo a termo:
\frac{1}{z^{2}}\cos(y-x)(y_x-1)=\frac{1}{w^{2}-3}\bigl(-\sin(x+y)\bigr)(1+y_x).
Reescrevendo, usando A=\dfrac{1}{z^{2}}\cos(y-x) e B=\dfrac{1}{w^{2}-3}\sin(x+y), obtemos
A(y_x-1)=-B(1+y_x).
Desenvolvendo:
A y_x - A = -B - B y_x \quad\Rightarrow\quad (A+B) y_x = A - B.
Portanto
y_x=\frac{A-B}{A+B}=\frac{\dfrac{1}{z^{2}}\cos(y-x)-\dfrac{1}{w^{2}-3}\sin(x+y)}{\dfrac{1}{z^{2}}\cos(y-x)+\dfrac{1}{w^{2}-3}\sin(x+y)}.

Passo 4

Avaliação de \dfrac{dy}{dx} no ponto dado. Peguei os valores do enunciado: x=\dfrac{\pi}{4}, y=\dfrac{\pi}{4}, z=1, w=-2. Calculo as funções trigonométricas:
y-x=0\Rightarrow \cos(y-x)=\cos 0=1,\qquad x+y=\frac{\pi}{2}\Rightarrow \sin(x+y)=1.
Também z^{2}=1 e w^{2}-3=4-3=1. Assim A=1 e B=1. Logo
\frac{dy}{dx}=\frac{A-B}{A+B}=\frac{1-1}{1+1}=0.

Passo 5

Cálculo de \dfrac{dy}{dz}. Agora derivo a equação em relação a z, mantendo x e w constantes e usando y=y(z). Diferenciando:
\frac{d}{dz}\!\left(\frac{\sin(y-x)}{z^{2}}\right)=\frac{d}{dz}\!\left(\frac{\cos(x+y)}{w^{2}-3}\right).
No lado esquerdo aplico regra do produto/quotient simples (já que \sin(y-x) depende de z só via y):
\frac{d}{dz}\!\left(\frac{\sin(y-x)}{z^{2}}\right)=\sin(y-x)\cdot\frac{d}{dz}\!\left(\frac{1}{z^{2}}\right)+\frac{1}{z^{2}}\cos(y-x)\,y_z.
Como \dfrac{d}{dz}\!\left(\dfrac{1}{z^{2}}\right)=-\dfrac{2}{z^{3}}, isso vira
-\frac{2\sin(y-x)}{z^{3}}+\frac{1}{z^{2}}\cos(y-x)\,y_z.
O lado direito depende de z só via y, então
\frac{d}{dz}\!\left(\frac{\cos(x+y)}{w^{2}-3}\right)=-\frac{1}{w^{2}-3}\sin(x+y)\,y_z.
Igualando:
-\frac{2\sin(y-x)}{z^{3}}+\frac{1}{z^{2}}\cos(y-x)\,y_z=-\frac{1}{w^{2}-3}\sin(x+y)\,y_z.
Agrupando os termos com y_z:
\Bigl(\frac{1}{z^{2}}\cos(y-x)+\frac{1}{w^{2}-3}\sin(x+y)\Bigr)y_z=\frac{2\sin(y-x)}{z^{3}}.
Logo
y_z=\frac{\dfrac{2\sin(y-x)}{z^{3}}}{\dfrac{1}{z^{2}}\cos(y-x)+\dfrac{1}{w^{2}-3}\sin(x+y)}.

Passo 6

Avaliação de \dfrac{dy}{dz} no ponto. Usando os mesmos valores e as mesmas funções trigonométricas calculadas antes: \sin(y-x)=\sin 0=0, \cos(y-x)=1, \sin(x+y)=1, z^{3}=1, z^{2}=1, w^{2}-3=1. O numerador tem fator \sin(y-x)=0, então
\frac{dy}{dz}=0.

Passo 7

Cálculo de \dfrac{dy}{dw}. Derivo a equação em relação a w, mantendo x e z constantes e com y=y(w). Diferenciando:
\frac{1}{z^{2}}\cos(y-x)\,y_w=\frac{d}{dw}\!\left(\frac{\cos(x+y)}{w^{2}-3}\right).
No lado direito uso produto/quotient (ou regra do quociente). É mais direto escrever
\frac{d}{dw}\!\left(\frac{\cos(x+y)}{w^{2}-3}\right)=-\frac{1}{w^{2}-3}\sin(x+y)\,y_w+\cos(x+y)\cdot\frac{d}{dw}\!\left(\frac{1}{w^{2}-3}\right).
E
\frac{d}{dw}\!\left(\frac{1}{w^{2}-3}\right)=-\frac{2w}{(w^{2}-3)^{2}}.
Portanto
\frac{1}{z^{2}}\cos(y-x)\,y_w=-\frac{1}{w^{2}-3}\sin(x+y)\,y_w-\frac{2w}{(w^{2}-3)^{2}}\cos(x+y).
Agrupando os termos com y_w:
\Bigl(\frac{1}{z^{2}}\cos(y-x)+\frac{1}{w^{2}-3}\sin(x+y)\Bigr)y_w=-\frac{2w}{(w^{2}-3)^{2}}\cos(x+y).
Logo
y_w=-\frac{\dfrac{2w}{(w^{2}-3)^{2}}\cos(x+y)}{\dfrac{1}{z^{2}}\cos(y-x)+\dfrac{1}{w^{2}-3}\sin(x+y)}.

Passo 8

Avaliação de \dfrac{dy}{dw} no ponto. Novamente uso os valores: \cos(x+y)=\cos(\pi/2)=0. Assim o numerador é zero e, desde que o denominador seja finito (ele é \,1+1=2 nesse ponto), obtemos
\frac{dy}{dw}=0.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=0
\dfrac{dy}{dz}=0
\dfrac{dy}{dw}=0

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