Encontre d y / d x por derivação implícita.
x sen y+y sen x=1

Passo 1

O enunciado nos dá a curva definida implicitamente por
xsin y + ysin x = 1
e pede para encontrar dydx por derivação implícita. Vamos aplicar regra do produto e, quando necessário, regra da cadeia.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, temos para o primeiro termo xsin y a aplicação da regra do produto:
– derivada de x é 1, multiplicado por sin y;
– mais x vezes a derivada de sin y, que pela regra da cadeia é cos ycdotdydx.
Para o segundo termo ysin x também usamos produto:
– derivada de y é dydx, multiplicado por sin x;
– mais y vezes a derivada de sin x, que é cos x.
O lado direito, constante 1, tem derivada zero. Assim,
1cdotsin y + xcos y,dydx ;+;dydx,sin x + ycos x ;=;0

Passo 3

Agora agrupamos os termos que contêm dydx de um lado e os demais do outro.
Os termos com dydx são
xcos y,dydx + sin x,dydx =l(xcos y + sin xr)dydx,
e os termos sem dydx vêm com sinal trocado para o outro lado:
-sin y - ycos x
Logo, obtemos
l(xcos y + sin xr)dydx = -l(sin y + ycos xr)

Passo 4

Isolando dydx, dividimos ambos os lados por l(xcos y + sin xr):
dydx = -sin y + ycos xxcos y + sin x

Resposta

dydx = -sin y + ycos x,xcos y + sin x,

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