Considere z_{1}=2+2 \sqrt{3} i, z_{2}=-\sqrt{2}+\sqrt{2} i e z_{3}=\sqrt{3}+i. Calcule os itens a seguir:
z_{1} \cdot z_{3}

Passo 1

O enunciado pede o produto de dois números complexos em forma a+bi. Aqui vamos usar a propriedade distributiva da multiplicação em \mathbb{C} e lembrar que i^2=-1.

Passo 2

Escrevemos os números como:
z_{1} = 2 + 2\sqrt{3}\,i, \quad z_{3} = \sqrt{3} + i.

Passo 3

Aplicamos a distributiva:
z_{1}\cdot z_{3} =(2+2\sqrt{3}\,i)\,(\sqrt{3}+i) =2\cdot\sqrt{3}+2\cdot i +2\sqrt{3}\,i\cdot\sqrt{3} +2\sqrt{3}\,i\cdot i.

Passo 4

Simplificamos termo a termo, usando \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3 e i^2=-1:
2\sqrt{3}+2i +2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\,i +2\sqrt{3}\,i^2 =2\sqrt{3}+2i+6i+2\sqrt{3}(-1).
Agora agrupamos parte real e imaginária:
2\sqrt{3}-2\sqrt{3} + (2i+6i) =0 + 8i = 8i.

Resposta

z_{1}\cdot z_{3}=8i.

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