Considere z_{1}=2+2 \sqrt{3} i, z_{2}=-\sqrt{2}+\sqrt{2} i e z_{3}=\sqrt{3}+i. Calcule os itens a seguir:
Escreva a forma polar de z_{1}, z_{2} e z_{3}

Passo 1

O enunciado dá os números complexos \,z_{1}=2+2\sqrt{3}\,i, \,z_{2}=-\sqrt{2}+\sqrt{2}\,i e \,z_{3}=\sqrt{3}+i e pede suas formas polares. Para cada z_k vamos calcular o módulo r_k e o argumento \theta_k e, em seguida, escrever
z_k = r_k\bigl(\cos\theta_k + i\sin\theta_k\bigr).

Passo 2

Para z_{1}=2+2\sqrt{3}\,i o módulo é
r_{1} = \sqrt{2^{2} + (2\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{4 + 12} = 4.
O argumento, como está no primeiro quadrante, é
\theta_{1} = \arctan\!\frac{2\sqrt{3}}{2} = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}.
Logo
z_{1} = 4\bigl(\cos\tfrac{\pi}{3} + i\sin\tfrac{\pi}{3}\bigr).

Passo 3

Para z_{2}=-\sqrt{2}+\sqrt{2}\,i o módulo é
r_{2} = \sqrt{(-\sqrt{2})^{2} + (\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{2 + 2} = 2.
O argumento fica no segundo quadrante e satisfaz
\theta_{2} = \arctan\!\frac{\sqrt{2}}{-\sqrt{2}} = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4},
portanto ajustamos para \theta_{2} = \pi - \tfrac{\pi}{4} = \tfrac{3\pi}{4}. Assim
z_{2} = 2\bigl(\cos\tfrac{3\pi}{4} + i\sin\tfrac{3\pi}{4}\bigr).

Passo 4

Para z_{3}=\sqrt{3}+i o módulo é
r_{3} = \sqrt{(\sqrt{3})^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3 + 1} = 2.
O argumento, no primeiro quadrante, é
\theta_{3} = \arctan\!\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}.
Logo
z_{3} = 2\bigl(\cos\tfrac{\pi}{6} + i\sin\tfrac{\pi}{6}\bigr).

Resposta

z_{1} = 4\bigl(\cos\tfrac{\pi}{3} + i\sin\tfrac{\pi}{3}\bigr),\quad z_{2} = 2\bigl(\cos\tfrac{3\pi}{4} + i\sin\tfrac{3\pi}{4}\bigr),\quad z_{3} = 2\bigl(\cos\tfrac{\pi}{6} + i\sin\tfrac{\pi}{6}\bigr).

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