Considere z_{1}=2+2 \sqrt{3} i, z_{2}=-\sqrt{2}+\sqrt{2} i e z_{3}=\sqrt{3}+i. Calcule os itens a seguir:
\frac{z_{1}}{z_{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o quociente de dois números complexos
z_{1}=2+2\sqrt{3}\,i \quad\text{e}\quad z_{2}=-\sqrt{2}+\sqrt{2}\,i
Usaremos a ideia de multiplicar numerador e denominador pelo conjugado de z_{2} para obter uma forma a+bi.

Passo 2

O conjugado de z_{2} é -\sqrt{2}-\sqrt{2}\,i. Multiplicamos
\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{2+2\sqrt{3}\,i}{-\sqrt{2}+\sqrt{2}\,i} \cdot \frac{-\sqrt{2}-\sqrt{2}\,i}{-\sqrt{2}-\sqrt{2}\,i}
O denominador fica
(-\sqrt{2})^{2} + (\sqrt{2})^{2} =2+2=4.

Passo 3

No numerador expandimos:
(2+2\sqrt{3}\,i)(-\sqrt{2}-\sqrt{2}\,i) =-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}\,i-2\sqrt{6}\,i+2\sqrt{6}
Agrupando parte real e imaginária:
\text{Re} = -2\sqrt{2}+2\sqrt{6}, \quad \text{Im} = -2\sqrt{2}-2\sqrt{6}.

Passo 4

Dividindo cada parte por 4 obtemos a forma a+bi:
\frac{z_{1}}{z_{2}} =\frac{-2\sqrt{2}+2\sqrt{6}}{4} + i\,\frac{-2\sqrt{2}-2\sqrt{6}}{4} =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} - i\,\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\frac{z_{1}}{z_{2}} =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} - i\,\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}.

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