Considere z_{1}=2+2 \sqrt{3} i, z_{2}=-\sqrt{2}+\sqrt{2} i e z_{3}=\sqrt{3}+i. Calcule os itens a seguir:
Calcule z_{2}^{3} utilizando o Teorema de De Moivre.

Passo 1

O enunciado dá z_{2}=-\sqrt{2}+\sqrt{2}\,i e pede z_{2}^{3} usando o Teorema de De Moivre. O conteúdo aqui é escrever z_{2} em forma polar, aplicar a fórmula de De Moivre e voltar à forma cartesiana.

Passo 2

Calcular o módulo r e o argumento \theta de z_{2}:
r = |z_{2}| = \sqrt{(-\sqrt{2})^{2} + (\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{2 + 2} = 2
\theta = \arg(z_{2}) = \pi - \arctan\!\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\bigr) = \pi - \tfrac{\pi}{4} = \tfrac{3\pi}{4}

Passo 3

Expressar z_{2} em forma trigonométrica e aplicar De Moivre:
z_{2} = 2\bigl(\cos\tfrac{3\pi}{4} + i\sin\tfrac{3\pi}{4}\bigr),
z_{2}^{3} = 2^{3}\bigl(\cos(3\cdot\tfrac{3\pi}{4}) + i\sin(3\cdot\tfrac{3\pi}{4})\bigr) = 8\bigl(\cos\tfrac{9\pi}{4} + i\sin\tfrac{9\pi}{4}\bigr).

Passo 4

Reduzir o ângulo \tfrac{9\pi}{4} ao intervalo [0,2\pi):
\tfrac{9\pi}{4} - 2\pi = \tfrac{9\pi}{4} - \tfrac{8\pi}{4} = \tfrac{\pi}{4}.

Passo 5

Avaliar as funções trigonométricas em \tfrac{\pi}{4} e voltar à forma a+bi:
\cos\tfrac{\pi}{4} = \sin\tfrac{\pi}{4} = \tfrac{\sqrt{2}}{2} \quad\Longrightarrow\quad z_{2}^{3} = 8\Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2} + i\,\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) = 4\sqrt{2} + 4\sqrt{2}\,i.

Resposta

z_{2}^{3} = 4\sqrt{2} + 4\sqrt{2}\,i

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