Considere z_{1}=2+2 \sqrt{3} i, z_{2}=-\sqrt{2}+\sqrt{2} i e z_{3}=\sqrt{3}+i. Calcule os itens a seguir:
Determine todas as raízes quadradas de z_{1}.

Passo 1

O enunciado pede as raízes quadradas de z_{1}=2+2\sqrt{3}\,i. Para isso, vamos usar a representação polar de números complexos e a fórmula
\text{se }w=re^{i\theta},\text{ então }\sqrt{w}=\pm\sqrt{r}\,e^{i\theta/2}.ã

Passo 2

Calculemos o módulo r e o argumento \theta de z_{1}.
O módulo é
r = |z_{1}| = \sqrt{2^{2} + \bigl(2\sqrt{3}\bigr)^{2}} = \sqrt{4 + 12} = 4.
O argumento, tomando o principal em (-\pi,\pi], é
\theta = \arg(z_{1}) = \arctan\!\bigl(\tfrac{\Im z_{1}}{\Re z_{1}}\bigr) = \arctan\!\bigl(\tfrac{2\sqrt{3}}{2}\bigr) = \arctan(\sqrt{3}) = \tfrac{\pi}{3}.

Passo 3

Pela fórmula, as raízes quadradas são
\sqrt{z_{1}} =\pm\sqrt{r}\,e^{i\theta/2} =\pm 2\,e^{i\pi/6}.

Passo 4

Basta escrever em forma cartesiana usando \cos(\pi/6)=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin(\pi/6)=\tfrac12:
2e^{i\pi/6} = 2\bigl(\cos\tfrac{\pi}{6} + i\sin\tfrac{\pi}{6}\bigr) =2\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2} + i\,\tfrac12\Bigr) =\sqrt{3} + i.
Logo as duas raízes são \sqrt{z_{1}} = \pm\bigl(\sqrt{3} + i\bigr).

Resposta

\sqrt{z_{1}} = \sqrt{3} + i ou \sqrt{z_{1}} = -\sqrt{3} - i.

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