Passo 1
O enunciado pede para analisar a série
Informações dadas:
- O termo geral da série é
.
A pergunta implícita é: essa série converge ou diverge? Se convergir, qual é o seu valor; se divergir, devemos dizer por quê (e, se possível, para onde diverge).
Passo 2
Regra básica necessária para convergência de séries (explicação didática): se uma série
converge, então o termo geral
deve tender a zero quando
. Por quê? Se os
não vão a zero, os termos não desaparecem e somá-los infinitamente não pode produzir um número finito — é um teste simples e imediato que costuma ser o primeiro passo nas provas: se
, então a série diverge.
Passo 3
Primeiramente, vamos simplificar o termo geral da série. Como dividir por
é multiplicar por
, temos
Então a série pode ser escrita como
Agora, para aplicar o teste de divergência, calculamos o limite do termo
quando
. É conveniente fazer a substituição
, então
quando
. Assim, temos
Conhecemos (a justificativa para este limite fundamental será apresentada em um passo posterior) que
Portanto, o limite do termo geral é
Passo 4
Justificando o limite
de forma didática e clássica: para
em
vale a desigualdade geométrica
. Isso pode ser visto a partir das relações
, que após manipulação levam a
. Aplicando o Teorema da Convergência por Aperto (squeeze theorem), como
e o outro limite superior é
, segue que
. Essa é uma das limites mais usados em cálculo e aparece muito em provas.
Passo 5
Consequência prática: como
, a condição necessária para convergência não é satisfeita. Logo a série
diverge. Como todos os termos
são positivos para
grande (na verdade para todo
temos
), e tendem para
, os somatórios parciais crescem sem limite e a série diverge para
. Uma forma intuitiva de ver a divergência é que para
suficientemente grande
, então os somatórios parciais são maiores que uma soma infinita de
, que diverge.
Resposta
A série diverge (diverge para
).