\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (1 / n)}{1 / n}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(1/n)}{1/n}.
Informações dadas:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{\sin(1/n)}{1/n}.
    A pergunta implícita é: essa série converge ou diverge? Se convergir, qual é o seu valor; se divergir, devemos dizer por quê (e, se possível, para onde diverge).

Passo 2

Regra básica necessária para convergência de séries (explicação didática): se uma série \sum_{n=1}^\infty a_n converge, então o termo geral a_n deve tender a zero quando n\to\infty. Por quê? Se os a_n não vão a zero, os termos não desaparecem e somá-los infinitamente não pode produzir um número finito — é um teste simples e imediato que costuma ser o primeiro passo nas provas: se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0, então a série diverge.

Passo 3

Primeiramente, vamos simplificar o termo geral da série. Como dividir por 1/n é multiplicar por n, temos
a_n = \frac{\sin(1/n)}{1/n} = n\sin\!\left(\frac{1}{n}\right).
Então a série pode ser escrita como
\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} n\sin\!\left(\frac{1}{n}\right).
Agora, para aplicar o teste de divergência, calculamos o limite do termo a_n quando n\to\infty. É conveniente fazer a substituição x=\dfrac{1}{n}, então x\to 0^+ quando n\to\infty. Assim, temos
a_n = n\sin\!\left(\frac{1}{n}\right) = \frac{\sin x}{x}\quad\text{com }x=\frac{1}{n}.
Conhecemos (a justificativa para este limite fundamental será apresentada em um passo posterior) que
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Portanto, o limite do termo geral é
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{x\to0^+}\frac{\sin x}{x}=1.

Passo 4

Justificando o limite \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1 de forma didática e clássica: para x em (0,\tfrac{\pi}{2}) vale a desigualdade geométrica \cos x \le \dfrac{\sin x}{x} \le 1. Isso pode ser visto a partir das relações \sin x \le x \le \tan x, que após manipulação levam a \cos x \le \dfrac{\sin x}{x} \le 1. Aplicando o Teorema da Convergência por Aperto (squeeze theorem), como \lim_{x\to0}\cos x=1 e o outro limite superior é 1, segue que \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1. Essa é uma das limites mais usados em cálculo e aparece muito em provas.

Passo 5

Consequência prática: como \lim_{n\to\infty} a_n = 1 \neq 0, a condição necessária para convergência não é satisfeita. Logo a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(1/n)}{1/n}
diverge. Como todos os termos a_n são positivos para n grande (na verdade para todo n\ge1 temos \sin(1/n)>0), e tendem para 1, os somatórios parciais crescem sem limite e a série diverge para +\infty. Uma forma intuitiva de ver a divergência é que para n suficientemente grande a_n>\tfrac{1}{2}, então os somatórios parciais são maiores que uma soma infinita de \tfrac{1}{2}, que diverge.

Resposta

A série diverge (diverge para +\infty).

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