\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3 / 2}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}
As perguntas implícitas que vou responder (sem te perguntar nada):
  • A série converge ou diverge?
  • Se converge, qual é o seu valor (ou uma estimativa) e como estimar o erro de uma soma parcial?
Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{1}{n^{3/2}}.
  • Os termos são positivos para todo n.
  • A sequência a_n é decrescente (à medida que n aumenta, n^{3/2} aumenta, logo 1/n^{3/2} diminui).

Passo 2

Estratégia e ferramentas principais (explicação didática):
  • Existe um teste padrão para séries do tipo \sum 1/n^p, chamado teste da p-série: a série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}converge se, e somente se, p>1. Vou explicar e usar esse fato.
  • Outra ferramenta útil é o teste da integral (Integral Test): se f:(1,\infty)\to\mathbb{R} é positiva, contínua e decrescente, então a série \sum_{n=1}^{\infty} f(n) converge se, e somente se, a integral imprópria \int_{1}^{\infty} f(x)\,dxconverge. A ideia por trás do teste da integral é comparar soma de retângulos com a área sob a curva (é visual: para funções decrescentes, somas e integrais ficam encaixadas entre si).
  • Para nossa série aqui, podemos usar diretamente o teste da p-série (com p=\tfrac{3}{2}) ou aplicar o teste da integral com f(x)=x^{-3/2}. Vou mostrar ambos (o integral também dá estimativas numéricas úteis).

Passo 3

Aplicando o teste da integral (cálculo da integral associada) — aula rápida sobre integrais impróprias:
  • Considere f(x)=x^{-3/2}. Ela é positiva, contínua e decrescente em [1,\infty).
  • Calcular a integral \int_{1}^{\infty} x^{-3/2}\,dx.Primeiro calcule a primitiva: para \alpha\neq -1, \int x^{\alpha}\,dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C.Aqui \alpha=-\tfrac{3}{2}, então \alpha+1=-\tfrac{1}{2}. Podemos escrever a primitiva como \int x^{-3/2}\,dx = \frac{x^{-1/2}}{-1/2} + C = -2\,x^{-1/2} + C.
  • Avaliando a integral imprópria: \int_{1}^{\infty} x^{-3/2}\,dx = \lim_{R\to\infty}\bigl[-2\,x^{-1/2}\bigr]_{1}^{R} = \lim_{R\to\infty}\bigl(-2R^{-1/2} + 2\cdot 1^{-1/2}\bigr) = 0 + 2 = 2.A integral converge e o seu valor é 2.

Passo 4

Conclusão de convergência (usando o que foi explicado):
  • Pelo teste da integral, como \int_{1}^{\infty} x^{-3/2}\,dx converge (vale 2), a série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}}também converge.
  • Pelo teste da p-série (teorema conhecido), com p=\tfrac{3}{2}>1, a série também converge. As duas abordagens concordam.

Passo 5

Estimativas e como obter um intervalo prático para a soma — técnica de comparação por integrais:
  • Para f positiva e decrescente vale a desigualdade (útil para estimar somas): \int_{n+1}^{\infty} f(x)\,dx \le \sum_{k=n+1}^{\infty} f(k) \le \int_{n}^{\infty} f(x)\,dx.Assim, se S=\sum_{n=1}^{\infty} a_n e S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n, o resto R_N=S-S_N satisfaz \int_{N+1}^{\infty} f(x)\,dx \le R_N \le \int_{N}^{\infty} f(x)\,dx.
  • Para f(x)=x^{-3/2} as integrais são fáceis: \int_{N}^{\infty} x^{-3/2}\,dx = 2 N^{-1/2}.
  • Exemplo numérico prático: calcule a soma parcial até N=4. S_4 = 1 + \frac{1}{2^{3/2}} + \frac{1}{3^{3/2}} + \frac{1}{4^{3/2}}.Em decimais: \frac{1}{2^{3/2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\approx 0,353553,\qquad \frac{1}{3^{3/2}}\approx 0,192450,\qquad \frac{1}{4^{3/2}}=\frac{1}{8}=0,125.Então S_4 \approx 1 + 0,353553 + 0,192450 + 0,125 = 1,671003.Usando as desigualdades do resto: S_4 + \int_{5}^{\infty} x^{-3/2}\,dx \le S \le S_4 + \int_{4}^{\infty} x^{-3/2}\,dx.Calculando as integrais: \int_{5}^{\infty} x^{-3/2}\,dx = 2/\sqrt{5}\approx 0,894427, \qquad \int_{4}^{\infty} x^{-3/2}\,dx = 2/\sqrt{4}=1.Portanto obtemos o intervalo: 1,671003 + 0,894427 \le S \le 1,671003 + 1ou seja 2,565430 \le S \le 2,671003.Isso já dá uma estimativa razoavelmente estreita do valor da soma.

Passo 6

Valor exato e aproximação numérica:
  • A soma da série é o valor da função zeta de Riemann em s=\tfrac{3}{2}. Em notação: \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}}=\zeta\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr).Não existe uma expressão elementar simples para \zeta(\tfrac{3}{2}) (ao contrário de \zeta(2)=\pi^2/6, por exemplo).
  • Valor numérico conhecido (aproximação): \zeta\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)\approx 2,6123753487\ldotsIsso cai bem dentro do intervalo estimado no passo anterior.

Passo 7

Estimativa do erro para uso em prova (como controlar o número de termos necessários):
  • Do passo 5 temos o resto limitado por R_N = \sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}} \le \int_{N}^{\infty} x^{-3/2}\,dx = \frac{2}{\sqrt{N}}.
  • Então, para garantir erro menor que \varepsilon, basta escolher N tal que \dfrac{2}{\sqrt{N}}<\varepsilon, isto é N>\left(\frac{2}{\varepsilon}\right)^{2}.Por exemplo, para erro menor que 0,01 precisa N>(200)^{2}=40000. (Isso mostra que, para precisão muito alta, são necessários muitos termos; é um resultado prático que costuma aparecer em provas.)

Resposta

A série converge.
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}}=\zeta\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)\approx 2,6123753487

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