Passo 1
O enunciado dá a série
As perguntas implícitas que vou responder (sem te perguntar nada):
- A série converge ou diverge?
- Se converge, qual é o seu valor (ou uma estimativa) e como estimar o erro de uma soma parcial?
Informações relevantes fornecidas:
- O termo geral é
. - Os termos são positivos para todo
. - A sequência
é decrescente (à medida que aumenta, aumenta, logo diminui).
Passo 2
Estratégia e ferramentas principais (explicação didática):
- Existe um teste padrão para séries do tipo
, chamado teste da p-série: a série converge se, e somente se, . Vou explicar e usar esse fato. - Outra ferramenta útil é o teste da integral (Integral Test): se
é positiva, contínua e decrescente, então a série converge se, e somente se, a integral imprópria converge. A ideia por trás do teste da integral é comparar soma de retângulos com a área sob a curva (é visual: para funções decrescentes, somas e integrais ficam encaixadas entre si). - Para nossa série aqui, podemos usar diretamente o teste da p-série (com
) ou aplicar o teste da integral com . Vou mostrar ambos (o integral também dá estimativas numéricas úteis).
Passo 3
Aplicando o teste da integral (cálculo da integral associada) — aula rápida sobre integrais impróprias:
- Considere
. Ela é positiva, contínua e decrescente em . - Calcular a integral
Primeiro calcule a primitiva: para , Aqui , então . Podemos escrever a primitiva como - Avaliando a integral imprópria:
A integral converge e o seu valor é .
Passo 4
Conclusão de convergência (usando o que foi explicado):
- Pelo teste da integral, como
converge (vale ), a série também converge. - Pelo teste da p-série (teorema conhecido), com
, a série também converge. As duas abordagens concordam.
Passo 5
Estimativas e como obter um intervalo prático para a soma — técnica de comparação por integrais:
- Para
positiva e decrescente vale a desigualdade (útil para estimar somas): Assim, se e , o resto satisfaz - Para
as integrais são fáceis: . - Exemplo numérico prático: calcule a soma parcial até
. Em decimais: Então Usando as desigualdades do resto: Calculando as integrais: Portanto obtemos o intervalo: ou seja Isso já dá uma estimativa razoavelmente estreita do valor da soma.
Passo 6
Valor exato e aproximação numérica:
- A soma da série é o valor da função zeta de Riemann em
. Em notação: Não existe uma expressão elementar simples para (ao contrário de , por exemplo). - Valor numérico conhecido (aproximação):
Isso cai bem dentro do intervalo estimado no passo anterior.
Passo 7
Estimativa do erro para uso em prova (como controlar o número de termos necessários):
- Do passo 5 temos o resto limitado por
- Então, para garantir erro menor que
, basta escolher tal que , isto é Por exemplo, para erro menor que precisa . (Isso mostra que, para precisão muito alta, são necessários muitos termos; é um resultado prático que costuma aparecer em provas.)
Resposta
A série converge.