Mostre que exibindo um isomorfismo:
e
então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados dois isomorfismos de módulos
e
, existe um isomorfismo natural entre os módulos de homomorfismos
e
. O conteúdo aqui é a propriedade de functorialidade do
em ambas as variáveis, e vamos precisar usar que isomorfismos têm inversas que também são homomorfismos.
Passo 2
Para construir um isomorfismo entre
e
, definimos a aplicação
que envia cada
em
. Ou seja, para todo
fazemos:
Passo 3
Precisamos verificar que
é um homomorfismo de módulos e bijetivo. Primeiro, se
e
, então
Passo 4
Ou seja,
preserva soma e multiplicação por escalar, logo é um homomorfismo de módulos.
Passo 5
Agora construímos o inverso de
. Definimos
por
para todo
Passo 6
Isso mostra que
é um isomorfismo natural de módulos entre
e
.
Resposta
O isomorfismo é dado por
cuja inversa é
Assim