Mostre que exibindo um isomorfismo:
Se U simeq U^prime e V simeq V^prime então .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados dois isomorfismos de módulos varphicolon U to U' e psicolon V to V', existe um isomorfismo natural entre os módulos de homomorfismos Hom(U,V) e Hom(U',V'). O conteúdo aqui é a propriedade de functorialidade do Hom em ambas as variáveis, e vamos precisar usar que isomorfismos têm inversas que também são homomorfismos.

Passo 2

Para construir um isomorfismo entre Hom(U,V) e Hom(U',V'), definimos a aplicação F:Hom(U,V)to Hom(U',V') que envia cada f:Uto V em psicirc fcirc varphi^-1:U'to V'. Ou seja, para todo finHom(U,V) fazemos:
F(f)=psicirc fcirc varphi^-1

Passo 3

Precisamos verificar que F é um homomorfismo de módulos e bijetivo. Primeiro, se f1,f2inHom(U,V) e rin R, então
F(f1+f2)=psicirc(f1+f2)circvarphi^-1=psicirc f1circvarphi^-1+psicirc f2circvarphi^-1=F(f1)+F(f2),
F(rcdot f1)=psicirc(rcdot f1)circvarphi^-1=rcdot(psicirc f1circvarphi^-1)=rcdot F(f1)

Passo 4

Ou seja, F preserva soma e multiplicação por escalar, logo é um homomorfismo de módulos.

Passo 5

Agora construímos o inverso de F. Definimos G:Hom(U',V')toHom(U,V) por
G(g)=psi^-1circ gcircvarphi,
para todo g:U'to V'. É fácil ver que G também é linear, e que
G(F(f))=psi^-1circ(psicirc fcircvarphi^-1)circvarphi=f,
F(G(g))=psicirc(psi^-1circ gcircvarphi)circvarphi^-1=g

Passo 6

Isso mostra que F é um isomorfismo natural de módulos entre Hom(U,V) e Hom(U',V').

Resposta

O isomorfismo é dado por
F:Hom(U,V)toHom(U',V'), F(f)=psicirc fcircvarphi^-1,
cuja inversa é
G(g)=psi^-1circ gcircvarphi
Assim
Hom(U,V)simeqHom(U',V')

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