Seja G o grupo dada pela seguinte tabela:
c|cccccccc $cdot$ & e & a & b & c & r & s & t & u hline e & e & a & b & c & r & s & t & u a & a & b & c & e & s & t & u & r b & b & c & e & a & t & u & r & s c & c & e & a & b & u & r & s & t r & r & u & t & s & e & c & b & a s & s & r & u & t & a & e & c & b t & t & s & r & u & b & a & e & c u & u & t & s & r & c & b & a & e e a b c r s t u
e e a b c r s t u
a a b c e s t u r
b b c e a t u r s
c c e a b u r s t
r r u t s e c b a
s s r u t a e c b
t t s r u b a e c
u u t s r c b a e
a. Determine lang<= arang<=,lang<= rrang<=, o(a) e o(r).
b. Quem é o elemento neutro de G ?
c. Qual o inverso de cada elemento de G ?
d. G é cíclico?
e. G é abeliano?
f. Seja H=e, s. Determine as classes laterais à direita de H.

Passo 1

Temos o grupo G com oito elementos dado pela tabela de multiplicação. Vamos usar os conceitos de subgrupo gerado por um elemento, ordem de um elemento, elemento neutro, inverso, grupo cíclico, grupo abeliano e classes laterais.

Passo 2

Para calcular lang<= arang<= e o(a), observamos as potências de a na tabela:
a^1 = a, a^2 = b, a^3 = c, a^4 = e
Como a^4=e e as potências repetem,
lang<= arang<= = e,a,b,c, o(a)=4

Passo 3

Para calcular lang<= rrang<= e o(r), vemos na tabela que
r^1 = r, r^2 = e
Logo
lang<= rrang<= = e,r, o(r)=2

Passo 4

O elemento neutro de G é aquele e que satisfaz ecdot x = xcdot e = x para todo x. Pela primeira linha e coluna da tabela vemos que é e.

Passo 5

Para achar o inverso de cada elemento, buscamos x^-1 tal que xcdot x^-1=e. Da tabela obtemos:
e^-1=e, a^-1=c, b^-1=b, c^-1=a, r^-1=r, s^-1=s, t^-1=t, u^-1=u

Passo 6

Para ser cíclico, deve existir gin G com o(g)=|G|=8. As ordens máximas que achamos foram 4 (para a e c), então não há elemento de ordem 8. Logo G não é cíclico.

Passo 7

Para ser abeliano, precisa valer xcdot y = ycdot x para todo par x,y. Mas, por exemplo, acdot r = s enquanto rcdot a = u, e sneq u. Logo G não é abeliano.

Passo 8

As classes laterais à direita de H=e,s são os conjuntos Hg=hcdot g: hin H. Calculando cada uma, obtemos:
H e = e,s, H a = a,r, H b = b,u, H c = c,t

Resposta

a. lang<= arang<==e,a,b,c, lang<= rrang<==e,r, o(a)=4, o(r)=2; b. elemento neutro = e; c. inversos: e^-1=e, a^-1=c, b^-1=b, c^-1=a, r^-1=r, s^-1=s, t^-1=t, u^-1=u; d. G não é cíclico; e. G não é abeliano; f. classes laterais à direita de H: e,s, a,r, b,u, c,t.

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