Seja
o grupo dada pela seguinte tabela:
e
a
b
c
r
s
t
u
e
e
a
b
c
r
s
t
u
a
a
b
c
e
s
t
u
r
b
b
c
e
a
t
u
r
s
c
c
e
a
b
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e
c
b
a
s
s
r
u
t
a
e
c
b
t
t
s
r
u
b
a
e
c
u
u
t
s
r
c
b
a
e
a. Determine
e
.
b. Quem é o elemento neutro de
?
c. Qual o inverso de cada elemento de
?
d.
é cíclico?
e.
é abeliano?
f. Seja
. Determine as classes laterais à direita de
.
|
e | a | b | c | r | s | t | u |
e | e | a | b | c | r | s | t | u |
a | a | b | c | e | s | t | u | r |
b | b | c | e | a | t | u | r | s |
c | c | e | a | b | u | r | s | t |
r | r | u | t | s | e | c | b | a |
s | s | r | u | t | a | e | c | b |
t | t | s | r | u | b | a | e | c |
u | u | t | s | r | c | b | a | e |
b. Quem é o elemento neutro de
c. Qual o inverso de cada elemento de
d.
e.
f. Seja
Passo 1
Temos o grupo
com oito elementos dado pela tabela de multiplicação. Vamos usar os conceitos de subgrupo gerado por um elemento, ordem de um elemento, elemento neutro, inverso, grupo cíclico, grupo abeliano e classes laterais.
Passo 2
Para calcular
e
, observamos as potências de
na tabela:
Como
Passo 3
Para calcular
e
, vemos na tabela que
Logo
Passo 4
O elemento neutro de
é aquele
que satisfaz
para todo
. Pela primeira linha e coluna da tabela vemos que é
.
Passo 5
Para achar o inverso de cada elemento, buscamos
tal que
. Da tabela obtemos:
Passo 6
Para ser cíclico, deve existir
com
. As ordens máximas que achamos foram 4 (para
e
), então não há elemento de ordem 8. Logo
não é cíclico.
Passo 7
Para ser abeliano, precisa valer
para todo par
. Mas, por exemplo,
enquanto
, e
. Logo
não é abeliano.
Passo 8
As classes laterais à direita de
são os conjuntos
. Calculando cada uma, obtemos:
Resposta
a.
,
,
,
; b. elemento neutro =
; c. inversos:
,
,
,
,
,
,
,
; d.
não é cíclico; e.
não é abeliano; f. classes laterais à direita de
:
,
,
,
.