Considere
como um subgrupo do grupo quociente aditivo
dos números racionais. Mostre que, dado um elemento
existe um inteiro
tal que
.
(
.
(
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Primeiro, mostrar que todo elemento de
tem ordem finita, ou seja, dado
existe
tal que
Em seguida, analisar o grupo quociente
e identificar sua estrutura usando o Primeiro Teorema de Isomorfismo.
Passo 2
Seja
. Escolha um representante racional
com
e
em forma irredutível. Então
Passando ao quociente,
Logo basta tomar
n=q para que
nbar x=0 . Isso mostra que
Q/Z é um grupo inteiro-torção: todo elemento tem ordem finita.
Passo 3
Definimos o homomorfismo
É claro que
phi é sobrejetora e
Pelo Primeiro Teorema de Isomorfismo,
Resposta
Para
bar xinQ/Z com representante
tfracpq , basta tomar
n=q para ter
nbar x=0 .
Além disso,
Além disso,