Considere Z como um subgrupo do grupo quociente aditivo Q dos números racionais. Mostre que, dado um elemento barx in Q / Z existe um inteiro n >= 1 tal que n barx=0.
( (Z times Z) /(3 Z times 2 Z).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro, mostrar que todo elemento de Q/Z tem ordem finita, ou seja, dado bar xinQ/Z existe n>=1 tal que
nbar x=0
Em seguida, analisar o grupo quociente
(ZtimesZ)/(3Ztimes2Z)
e identificar sua estrutura usando o Primeiro Teorema de Isomorfismo.

Passo 2

Seja bar xinQ/Z. Escolha um representante racional
x=pq,
com pinZ e qinZ>0 em forma irredutível. Então
qx = qcdotpq = p in Z
Passando ao quociente,
q,bar x ;=;q x;=;p;=;0
Logo basta tomar n=q para que nbar x=0. Isso mostra que Q/Z é um grupo inteiro-torção: todo elemento tem ordem finita.

Passo 3

Definimos o homomorfismo
phicolon ZtimesZ;longrightarrow;Z/3Z;times;Z/2Z, phi(a,b)=l(a+3Z,,b+2Zr)
É claro que phi é sobrejetora e
kerphi ;=; (a,b)mid aequiv0pmod3,;bequiv0pmod2 ;=;3Ztimes2Z
Pelo Primeiro Teorema de Isomorfismo,
(ZtimesZ)/(3Ztimes2Z) ;simeq; Z/3Z;times;Z/2Z

Resposta

Para bar xinQ/Z com representante tfracpq, basta tomar n=q para ter nbar x=0.
Além disso,
(ZtimesZ)/(3Ztimes2Z) ;simeq; Z/3ZtimesZ/2Z

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